Théorème de Borel

En mathématiques, le théorème de Borel, ou lemme de Borel, est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.

Il a été démontré en 1884 par Giuseppe Peano et en 1895 par Émile Borel. Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.

Énoncé simple

Pour toute suite $(a_{n})$ de nombres complexes, il existe une fonction $f$ de classe $C^{\infty }$, d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que

$\forall n\in \mathbb {N} \quad f^{(n)}(0)=a_{n}.$

Conséquence

Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0 : il suffit par exemple de prendre la fonction $f$ associée à la suite $\left((n!)^{2}\right)$.

Énoncé général

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$ et $(f_{n})$ une suite de fonctions de classe $C^{\infty }$ à valeurs complexes sur $U$. Alors il existe une fonction $F=F(t,x)$ de classe $C^{\infty }$ à valeurs complexes sur $\mathbb {R} \times U$, solution de l'équation aux dérivées partielles :

$\forall k\in \mathbb {N} \quad \forall x\in U\qquad {\frac {\partial ^{k}F}{\partial t^{k}}}(0,x)=f_{k}(x).$

Il existe une preuve constructiviste de ce résultat.

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Lemme de Borel » (voir la liste des auteurs).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Borel's lemma » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Fonction régulière non analytique
• Sommation de Borel
• Théorème d'extension de Whitney