Somme numérique
Pour les articles homonymes, voir Somme.
Il existe trois sens en mathématiques élémentaires pour le terme somme numérique.
- Dans certaines bases, ajouter les chiffres d'un nombre ensemble.
- Ajouter les chiffres d'un nombre ensemble, mais en enlevant toute retenue.
- Dans certaines bases, ajouter certains nombres ensemble en enlevant chaque retenue chiffre à chiffre.
Le troisième sens est celui détaillé ci-dessous.
La somme numérique en base b d'un ensemble de nombres entiers naturels est calculée comme ce qui suit : exprimer chaque nombre en base b, puis prendre la somme des chiffres correspondants et enlever toutes les retenues. C’est-à-dire, la somme numérique est la même chose que la somme normale à ceci près qu'aucune retenue n'est utilisée.
Par exemple en arithmétique de base 10, la somme numérique de 123 et 789 est 802 :
- 3 + 9 = 12, on enlève 10 en laissant 2.
- 2 + 8 = 10, on enlève 10 en laissant 0.
- 1 + 7 = 8, il n'y a pas de retenue à enlever.
123 789 --- 802
Habituellement, la somme numérique est calculée en binaire (base 2) où le résultat dépend seulement de s'il existe un nombre pair ou impair de 1 dans chaque colonne. C'est la même fonction que la parité ou le OU exclusif.
Par exemple :
011 (= 3) 100 (= 4) 101 (= 5) --- 010 (= 2) est la somme numérique binaire de 3, 4 et 5.
La somme numérique binaire est importante pour la théorie du jeu de Nim.
La somme numérique en base b est une opération associative et commutative sur les nombres naturels; 0 est l'élément neutre et chaque nombre naturel possède un élément opposé pour cette opération. Les nombres naturels munis de la somme de base-b forment un groupe abélien ; ce groupe est isomorphe à la somme directe d'un ensemble dénombrable de copies de Z/bZ.
