Signature (arithmétique)

En théorie algébrique des nombres, la signature d'un corps de nombres algébriques est un invariant de ce corps. Elle est définie comme un couple de deux entiers r₁ et r₂, tels que r₁ est le nombre de plongements réels, et r₂ le nombre de couples de plongements complexes conjugués du corps K ; un plongement, morphisme de corps injectif dans le corps algébriquement clos des nombres complexes, est considéré réel s'il est à valeurs dans le sous-corps des nombres réels, et complexe sinon.

C'est un fait classique en théorie des corps que chaque plongement complexe admet un plongement complexe conjugué, ainsi que la relation r₁+2r₂=n, où n est le degré du corps K sur le corps des nombres rationnels.

La signature d'un corps de nombres intervient dans de nombreuses formules arithmétiques, comme le théorème des unités de Dirichlet, ou le dénombrement des $\mathbb {Z} _{p}$-extensions linéairement indépendantes, en théorie d'Iwasawa.

Références

• (en) Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory [détail des éditions]
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]