Sextuplet de nombres premiers

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Article principal : Suite de nombres premiers.

Un sextuplet de nombres premiers est, au sens le plus large, un $n$ -uplet $(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6})$ de six nombres premiers.

Les recherches en théorie des nombres sur les nombres premiers ont amené les mathématiciens à définir et examiner des sextuplets particuliers, dont les termes (premiers) satisfont des conditions précises.

Les sextuplets de nombres premiers les plus étudiés regroupent des nombres premiers successifs, c'est-à-dire séparés par cinq distances « minimales ». Cette définition encore générale ne présente toujours pas beaucoup d'intérêt puisque, les nombres premiers étant en quantité infinie, il est possible de rassembler ces nombres successifs six par six (jusqu'à l'infini, justement) sans autre critère (que d'être successifs).

Écarts minimaux constants

En pratique, la notion de sextuplet de nombres premiers habituellement rencontrée dans la littérature mathématique concerne les sextuplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants ; ils sont de la forme $(p-4,p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ (où tous les termes sont premiers)^[1].

Un tel sextuplet est donc issu d'un quadruplet de nombres premiers d'écarts minimaux constants, $(p,p+2,p+6,p+8)$ , auquel on a ajouté deux termes (premiers aussi) :

à droite, $p+12$ ;
à gauche, $p-4$ .

Propriétés

Un sextuplet de nombres premiers d'écarts minimaux constants contient :

deux paires de nombres premiers jumeaux proches : $(p,p+2)$ et $(p+6,p+8)\ ;$
un quadruplet de nombres premiers d'écarts minimaux constants : $(p,p+2,p+6,p+8)\ ;$
quatre triplets de nombres premiers d'écarts minimaux constants, se chevauchant partiellement : $(p-4,p,p+2)$ , $(p,p+2,p+6)$ , $(p+2,p+6,p+8)$ , $(p+6,p+8,p+12)\ ;$
deux quintuplets de nombres premiers d'écarts minimaux constants, se chevauchant partiellement : $(p-4,p,p+2,p+6,p+8)$ et $(p,p+2,p+6,p+8,p+12).$

Liste

Les cinq plus petits sextuplets de nombres premiers sont :

$(7, 11, 13, 17, 19, 23)$ ;
$(97, 101, 103, 107, 109, 113)$ ;
$(16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073)$ ;
$(19 417, 19 421, 19 423, 19 427, 19 429, 19 433)$ ;
$(43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793)$ .

(De $50 001$ à $100 000$ , aucune occurrence.)

Dénombrement

On ignore s'il existe une infinité de tels sextuplets.

Démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux ne démontrerait pas qu'il existe aussi une infinité de sextuplets de nombres premiers, ni même une infinité de triplets de nombres premiers.

Références

↑ Le seul sextuplet de la forme (p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+14) où tous les termes sont premiers est (5, 7, 11, 13, 17, 19). En effet : (3, 5, 9, 11, 13, 15) a deux termes composés. Si p = 5k où k ≥ 2, alors p est composé. Si p = 5k+1 où k ≥ 1, alors p+14 = 5k+15 = 5(k+3) est composé. Si p = 5k+2 où k ≥ 1, alors p+8 = 5k+10 = 5(k+2) est composé. Si p = 5k+3 où k ≥ 1, alors p+2 = 5k+5 = 5(k+1) et p+12 = 5k+15 = 5(k+3) sont composés. Si p = 5k+4 où k ≥ 1, alors p+6 = 5k+10 = 5(k+2) est composé.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime quadruplet » (voir la liste des auteurs).
(en) Suite A022008 de l'OEIS.

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Le seul sextuplet de la forme (p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+14) où tous les termes sont premiers est (5, 7, 11, 13, 17, 19). En effet : (3, 5, 9, 11, 13, 15) a deux termes composés. Si p = 5k où k ≥ 2, alors p est composé. Si p = 5k+1 où k ≥ 1, alors p+14 = 5k+15 = 5(k+3) est composé. Si p = 5k+2 où k ≥ 1, alors p+8 = 5k+10 = 5(k+2) est composé. Si p = 5k+3 où k ≥ 1, alors p+2 = 5k+5 = 5(k+1) et p+12 = 5k+15 = 5(k+3) sont composés. Si p = 5k+4 où k ≥ 1, alors p+6 = 5k+10 = 5(k+2) est composé.

[1]