Série de Riemann

Pour α un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : $S=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$.

La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1 : $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\ldots$

Convergence

La série de Riemann de paramètre complexe α converge absolument si Re(α) > 1, et diverge si Re(α) ≤ 1.

En effet :

• si Re(α) ≤ 0, la série est grossièrement divergente ;
• la preuve de la convergence absolue pour Re(α) > 1 peut se faire par comparaison série-intégrale avec l'intégrale impropre associée :

  $\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{\alpha }}}~;$

• celle de la divergence pour α ∈ ]0, 1] également ;
• si α = σ + it avec σ ∈ ]0, 1] et t réel non nul, il suffit d'affiner un peu la méthode.

Valeurs particulières

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :

$\sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{2\,p}}=r_{p}\,\pi ^{2\,p}$, où $r_{p}$ est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).

Par exemple$\sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{2}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{4}}={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{6}}={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{8}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}.$

En revanche, on ne sait rien concernant les valeurs prises pour α entier impair, hormis que pour α = 3, la somme, appelée constante d'Apéry, est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).

Fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann ζ est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :

$\zeta (s)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\ {\frac {1}{n^{s}}}.$

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Elle intervient dans l’étude de la répartition des nombres premiers dans le cadre de l’hypothèse de Riemann.

Généralisations

• Les séries de Bertrand, de la forme$\sum {1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.$
• Les séries de Dirichlet, de la forme$\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$
• Les séries de Riemann multiples, de la forme $\sum _{n_{1},\cdots ,n_{k}>0}{\frac {1}{(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\ldots +n_{k}^{2})^{\alpha /2}}},$Il y a convergence absolue si et seulement si Re(α) > k.

Voir aussi

• Histoire de la fonction zêta de Riemann
• Test de condensation de Cauchy