Représentation induite d'un groupe fini
En mathématiques une représentation induite est une représentation d'un groupe canoniquement associée à une représentation de l'un de ses sous-groupes. L'induction est adjointe à gauche de la restriction (en). Cette propriété intervient dans la formule de réciprocité de Frobenius.
Cet article traite le cas des groupes finis.
Définitions et exemples
modifierDans tout l'article, G désigne un groupe fini, H un sous-groupe de G et θ une représentation de H dans un espace vectoriel de dimension finie W sur un corps K. G/H désigne l'ensemble des classes à gauche modulo H.
Définitions
modifier- La représentation induite par une représentation θ du sous-groupe H de G est la représentation de G, notée ρ = IndG
H θ, ou simplement Ind(θ) s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, telle que :- θ est une sous-représentation de la restriction ResG
H(ρ) de ρ à H ; - pour toute représentation σ de G, le morphisme naturel suivant est un isomorphisme entre espaces des morphismes de représentations :
.
- θ est une sous-représentation de la restriction ResG
Son unicité (à isomorphisme près) est garantie par cette propriété universelle d'adjonction, et son existence est assurée par la construction ci-dessous.
- Si ψ désigne le caractère de θ, celui de ρ dépend uniquement de ψ. Il est donc appelé caractère induit par ψ et noté Ind(ψ) ou encore IndG
H (ψ) si un risque d'ambiguïté existe.
Construction
modifierSoit W le K[H]-module sous-jacent à la représentation θ de H, et soit ρ la représentation de G associée au K[G]-module
Alors ρ = IndG
H θ, puisque :
- W = K[H]⊗K[H]W est bien un sous-K[H]-module de V ;
- pour tout K[G]-module E, on a un isomorphisme naturel :
Exemples
modifier- Si H = G, alors IndG
H θ = θ. - Si θ est la représentation triviale de H, alors IndG
H θ est la représentation par permutations associée à l'action naturelle de G sur G/H. - Si θ est la représentation régulière de H, alors IndG
H θ est la représentation régulière de G[1].
Propriétés
modifierPremières propriétés
modifier- Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à IndG
H θ si et seulement si :- W est un sous-K[H]-module de V ;
- V = ⊕c∊G/H cW, où la notation cW signifie : ρs(W) pour n'importe quel élément s de la classe à gauche c. (Un tel ρs(W) ne dépend pas du choix de s dans c puisque si tH = c =sH alors t est de la forme sh pour un certain élément h de H, si bien que ρt(W) = ρs(ρh(W)) = ρs(W).)
- Pour toute sous-représentation θ' de θ, IndG
H (θ') est une sous-représentation de IndG
H (θ). - Pour toutes représentations θ1 et θ2 de H, on a : IndG
H (θ1⊕θ2) = (IndG
H θ1)⊕(IndG
H θ2).
Caractère
modifier- Le caractère χ de la représentation (V,ρ) = IndG
H θ s'exprime en fonction du caractère ψ de (W, θ) par la formule suivante, dans laquelle C désigne une transversale à gauche de H dans G, et h l'ordre de H :
On étend cette formule aux fonctions centrales par la définition suivante :
- Soient f une fonction centrale sur H à valeurs dans K et C une transversale à gauche de H dans G, alors la fonction IndG
H (f ) est définie par :
Réciprocité de Frobenius
modifierOn suppose que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre de G. La formule de réciprocité de Frobenius s'exprime alors par :
- Pour tout caractère ψ d'une représentation de H et tout caractère χ d'une représentation de G, les deux scalaires suivants sont égaux :
Cette formule est une conséquence de la propriété d'adjonction qui définit la représentation induite. Elle s'étend linéairement aux fonctions centrales.
Critère d'irréductibilité de Mackey
modifierOn suppose que la caractéristique de K est nulle et que le polynôme Xe – 1, où e désigne l'exposant de G, est scindé sur K. Ainsi, les caractères irréductibles de G forment une base orthonormale des fonctions centrales à valeurs dans K et toute représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par son caractère. On peut prendre par exemple pour K le corps des nombres complexes.
Une double application de la formule de réciprocité de Frobenius décrite ci-dessus permet, sous ces hypothèses, de démontrer le cas particulier suivant du critère d'irréductibilité de Mackey. Deux définitions sont nécessaires pour l'exprimer. Pour tout élément s de G, Hs désigne ici l'intersection de H avec son conjugué par s et θs désigne la représentation sur W de ce sous-groupe Hs = sHs−1 ∩ H définie par :
Le critère s'énonce de la manière suivante :
- La représentation Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et pour tout s ∉ H, la restriction de θ à Hs est disjointe de θs.
On en déduit le corollaire suivant :
- Si H est normal dans G, Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et n'est isomorphe à aucune des θs, pour s ∉ H.
Références
modifier- (en) Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer, coll. « GTM » (no 42), (lire en ligne), p. 29.
Bibliographie
modifierJean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]