En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation P ou réalisation-P est la représentation dans laquelle l'opérateur d'impulsion
p
^
x
{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}}
vecteur propre de cette représentation s'écrit :
p
^
x
|
p
x
⟩
=
p
x
|
p
x
⟩
{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|p_{x}\right\rangle =p_{x}\left|p_{x}\right\rangle }
Comme l'opérateur
p
^
x
{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}}
hermitien , on peut montrer pour un vecteur d'état que :
p
^
x
|
ψ
⟩
=
p
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\left|\psi \right\rangle =p_{x}\left|\psi \right\rangle }
Dans cette représentation, l'opérateur de position
x
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }
⟨
p
x
|
x
^
|
ψ
⟩
=
⟨
p
x
|
i
ℏ
∂
∂
p
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle \langle p_{x}|\mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =\langle p_{x}|i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }
Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :
x
^
|
ψ
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
p
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }
Il faut distinguer cette représentation de la représentation X dans laquelle l'opérateur de position s'écrit simplement
x
{\displaystyle x}
Le commutateur de
x
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}
p
^
x
{\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} }
[
x
^
,
p
^
x
]
=
x
^
p
^
x
−
p
^
x
x
^
{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}}
On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :
[
x
^
,
p
^
x
]
|
ψ
⟩
=
x
^
p
^
x
|
ψ
⟩
−
p
^
x
x
^
|
ψ
⟩
{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle ={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle }
En réalisation P, cela s'écrit :
[
x
^
,
p
^
x
]
|
ψ
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
p
x
(
p
x
|
ψ
⟩
)
−
i
ℏ
p
x
∂
∂
p
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}(p_{x}\left|\psi \right\rangle )-i\hbar p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }
La dérivée d'un produit
u
v
{\displaystyle uv}
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
{\displaystyle (uv)'=u'v+uv'}
[
x
^
,
p
^
x
]
|
ψ
⟩
=
i
ℏ
(
(
∂
∂
p
x
p
x
)
|
ψ
⟩
+
p
x
∂
∂
p
x
|
ψ
⟩
−
p
x
∂
∂
p
x
|
ψ
⟩
)
{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (({\frac {\partial }{\partial p_{x}}}p_{x})\left|\psi \right\rangle +p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle -p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle )}
[
x
^
,
p
^
x
]
|
ψ
⟩
=
i
ℏ
(
1
)
|
ψ
⟩
=
i
ℏ
|
ψ
⟩
{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (1)\left|\psi \right\rangle =i\hbar \left|\psi \right\rangle }
x
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}
p
^
x
{\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} }
[
x
^
,
p
^
x
]
=
i
ℏ
{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]=i\hbar }
Cette valeur, indépendante de la base, est liée au principe d'incertitude de Heisenberg .
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78dffe18faa5055dad79e9a53dce828ecd30d2c)
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle ={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f284a774f48eed3593ae27c86a39edb2ce179d6d)
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}(p_{x}\left|\psi \right\rangle )-i\hbar p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c8882f6962665d309841da22056255a3cd1a1)
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (({\frac {\partial }{\partial p_{x}}}p_{x})\left|\psi \right\rangle +p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle -p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1637ddf836aaa404e394ffc215a42671274f5165)
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (1)\left|\psi \right\rangle =i\hbar \left|\psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531413c770617f0acfc2c1ef6ea8e32f94ced21e)
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]=i\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e929428d86707f885a6e75007aaedd35cd69e6c4)
