Relations de Kramers-Kronig
En mathématiques et physique, les relations de Kramers-Kronig, nommées en l'honneur de Hendrik Anthony Kramers[1] et Ralph Kronig[2], décrivent la relation qui existe entre la partie réelle et la partie imaginaire de certaines fonctions complexes. Plus spécifiquement, elles s'appliquent aux fonctions qui sont analytiques sur le demi-plan supérieur de la variable complexe. On peut en effet montrer qu'une telle fonction représente la transformée de Fourier d'un processus physique linéaire et causal.
Enoncé
modifierSi on écrit
- ,
avec et des fonctions réelles "sympathiques"[réf. nécessaire], alors les relations de Kramers-Kronig sont :
Applications
modifierLes relations de Kramers-Kronig sont liées à la transformée de Hilbert, et sont le plus souvent appliquées à la permittivité des matériaux. Cependant, dans ce cas,
- ,
avec la susceptibilité électrique du matériau, la susceptibilité peut être interprétée comme la transformée de Fourier de la réponse temporelle du matériau à une excitation infiniment brève, c'est-à-dire sa réponse impulsionnelle.
Ces relations sont mieux connues dans le domaine des Télécommunications/Théorie du contrôle comme les relations de Bayard-Bode, en hommage aux travaux de Marcel Bayard (1936) et Hendrik Wade Bode (1945). Le théorème de Bayard-Bode est une application : amplitude et phase sont liées dans le cas d'un système à minimum de phase.
Notes et références
modifier- (en) H. A. Kramers « La diffusion de la lumière par les atomes » ()
—Atti del Congresso internazionale dei fisico
— « (ibid.) », dans Transactions of Volta Centenary Congress, vol. 2, Como, p. 545-557 - (en) R. de L. Kronig, « On the theory of the dispersion of X-rays », Journal of the Optical Society of America, vol. 12, , p. 547-557