La relation d'Euler dans le quadrilatère, découverte par Leonhard Euler en 1748[1], est une relation entre les longueurs des côtés d'un quadrilatère et celles de ses diagonales. C'est une généralisation de l'égalité du parallélogramme.
Dans un quadrilatère plan de côtés de longueurs , de diagonales de longueurs et , étant la distance entre les milieux des deux diagonales, la relation d'Euler s'écrit :
On peut démontrer cette relation en utilisant la relation d'Al Kashi dans des triangles formés par les côtés et les diagonales de parallélogrammes auxiliaires[2].
Le quadrilatère étant un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu, autrement dit si et seulement si , on obtient le fait qu'un quadrilatère convexe est un parallélogramme si et seulement si la somme des carrés des longueurs de ses côtés est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales, ce qui généralise la règle du parallélogramme.