Rayon spectral

Soit $A$ un endomorphisme sur un espace de Banach complexe $E$, on appelle rayon spectral de $A$, et on note $\rho (A)$, le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de $A$. Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de $A$.

En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$, le rayon spectral est égal à $\max _{i}{\left|\lambda _{i}\right|}$.

Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur $M_{n}(\mathbb {R} )$ (respectivement $M_{n}(\mathbb {C} )$) et pour toute matrice A dans $M_{n}(\mathbb {R} )$ (respectivement $M_{n}(\mathbb {C} )$), $\rho (A)\leq N(A)$.

Démonstration

Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X$ un vecteur propre associé. Notons $B$ la matrice carrée dont la première colonne est $X$ et les autres sont nulles. On a $AB=\lambda B$ donc $|\lambda |N(B)=N(AB)\leq N(A)N(B)$ et l'on peut simplifier par $N(B)$ car le vecteur $X$ étant non nul, il en est de même de la matrice $B$.

De plus, on montre que $\rho (A)=\inf N(A)$, la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre.

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral $\rho (A)$ d'un endomorphisme $A$ est donné par la formule $\rho (A)=\lim _{+\infty }\|A^{n}\|^{1/n}$.

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, $\|A\|^{2}=\rho (A^{*}A)$.

Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice $M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ a un rayon spectral 0, mais $M\neq 0$ donc $\|M\|>0=\rho (M)$ (plus précisément, $\|M\|=1$ car nous avons $\|M\|^{2}=\|^{\operatorname {t} }M\ M\|=\rho (^{\operatorname {t} }M\ M)=1$).

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