Rapidité (relativité)

En relativité restreinte, la rapidité ou pseudo-vitesse est une mesure du mouvement. À faible vitesse, la rapidité et la vitesse sont égales (au coefficient multiplicateur c près), mais contrairement à la vitesse qui tend asymptotiquement vers la vitesse de la lumière, la rapidité continue à augmenter linéairement à l'infini. L'intérêt de la rapidité vient du fait que, de par son caractère linéaire, elle préserve la relation de la mécanique classique entre vitesse et accélération (un voyageur peut donc calculer sa rapidité en intégrant dans le temps, une mesure fournie par un accéléromètre). La rapidité permet aussi d'exprimer les transformations de Lorentz comme rotation hyperbolique dans l'espace de Minkowski.

La rapidité est une quantité sans dimension.

La rapidité est rarement utilisée dans les calculs car elle est moins pratique que la quadrivitesse dans les formules d'invariance de l'impulsion. De plus, elle nécessite de choisir un référentiel qui isole le vecteur vitesse ou de la différence des vitesses sur un seul axe.

Définition

La rapidité $\ \varphi$ d'un objet par rapport à un référentiel galiléen est l'argument hyperbolique défini par :

$\varphi =\operatorname {artanh} {\left({\frac {v}{c}}\right)}={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}}\right)$

ou par :

$\varphi =\operatorname {arcosh} {\left(\gamma \right)}=\ln \left(\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\right)$

où :

• v est la vitesse dans ce référentiel ;
• c la vitesse de la lumière ;
• γ est le facteur de Lorentz ;
• artanh la fonction réciproque de la tangente hyperbolique ;
• arcosh est la fonction réciproque du cosinus hyperbolique ;
• ln est la fonction logarithme népérien.

Détails

Soit un corps se déplaçant à la vitesse $w\,$ par rapport à un référentiel R, qui lui-même se déplace à la vitesse $v\,$ par rapport à un autre référentiel R', en supposant que ${\vec {w}}//{\vec {v}}$. La vitesse du corps par rapport à ce second référentiel est $w'\,$, calculée par :

$w'={\frac {w+v}{1+{\dfrac {w\,v}{c^{2}}}}}$.

En posant ${\frac {w}{c}}=\operatorname {tanh} \left(\theta \right)\,,{\frac {w'}{c}}=\operatorname {tanh} \left(\theta '\right)\,,{\frac {v}{c}}=\operatorname {tanh} \left(\varphi \right)\,,$ on obtient, avec l'hypothèse que ${\vec {w}}//{\vec {v}}$ et avec les formules de trigonométrie hyperbolique :

$\theta '=\theta +\varphi$.

Histoire

La rapidité est une des notions introduites dès 1908 par Hermann Minkowski (1864-1909). Mais celui-ci préfère employer le produit iφ plutôt que φ. Le produit iφ est aussi employé en 1909 par Arnold Sommerfeld (1868-1951) afin de réduire les transformations de Lorentz spéciales à de la trigonométrie ordinaire au moyen des angles imaginaires. En 1910, la rapidité apparaît chez Vladimir Varićak (1865-1942) et Edmund T. Whittaker (1873-1956). Le terme « rapidité » a été proposé en 1911 par Alfred A. Robb (1873-1936).

Notes et références

Bibliographie

• [Minkowski 1908] (de) Hermann Minkowski, « Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern » [« Les équations fondamentales des phénomènes électromagnétiques dans les corps en mouvement »], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse,‎ 1908, p. 53-111 (lire sur Wikisource, lire en ligne).
• [Varićak 1910a] (de) Vladimir Varićak, « Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in die Relativtheorie », Physikalische Zeitschrift, vol. 11,‎ 1910, p. 93-96 (lire sur Wikisource).
• [Varićak 1910b] (de) Vladimir Varićak, « Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie », Physikalische Zeitschrift, vol. 11,‎ 1910, p. 287-293 (lire sur Wikisource).
• [Whittaker 1910] (en) Edmund T. Whittaker, A history of the theories of aether and electricity from the age of Descartes to the close of the nineteenth century, Londres et Dublin, Longmans, Green and C° et Hodge, Figgis and C°, coll. « Dublin University Press Series », 1910, 1^re éd., XIII-475 p., 22 cm (OCLC 493623032, SUDOC 089168348, lire en ligne).
• [Robb 1911] (en) Alfred A. Robb, Optical geometry of motion : a new view of the theory of relativity [« Géométrie optique du mouvement : une nouvelle vision de la théorie de la relativité »], Cambridge, W. Heffer, 1911, 1^re éd., 1 vol., [II]-32, 23 cm (OCLC 12875850, lire en ligne).
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• Notes de cours[PDF] du professeur J.M. Raimond du Département de Physique de l’Ecole normale supérieure(ENS), pages 88 à 90.

Manuels d'enseignement supérieur

• [Pérez 2016] José-Philippe Pérez (avec la collab. d'Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll. / sciences et techniques, mai 2016 (réimpr. oct. 2017), 3^e éd. (1^re éd. sept. 1999), 1 vol., XXIII-439, ill., fig. et tabl., 17,7 × 24 cm, br. (ISBN 978-2-10-077295-7 et 978-2-10-074717-7, EAN 9782100747177, OCLC 949876980, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), X-309 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

• [Woodhouse 2014] (en) Nick M. J. Woodhouse, « Relativity today », dans Abhay Ashtekar et Vesselin Petkov (éd. et préf.), Springer handbook of spacetime, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Springer handbook », juillet 2014, 1^re éd., XXVI-887 p., 25 cm (ISBN 978-3-642-41991-1, EAN 9783642419911, OCLC 894030364, DOI 10.1007/978-3-642-41992-8, Bibcode 2014shst.book.....A, SUDOC 181485206, présentation en ligne, lire en ligne), part. A, chap. 3, p. 39-60 (OCLC 7327008730, DOI 10.1007/978-3-642-41992-8_3, Bibcode 2014shst.book...39W, résumé, lire en ligne).