Racine douzième de deux

La racine douzième de deux, notée ${\sqrt[{12}]{2}}$ ou $2^{1/12}$ , est un nombre algébrique irrationnel, approximativement égal à 1,0594631. Il représente, dans la théorie musicale occidentale, le rapport de fréquence (intervalle musical) d'un demi-ton, dans le système musical tempéré à douze demi-tons. Il permet de mesurer la fréquence d'une note en hertz (Hz) à partir d'une autre note dont la fréquence est connue, pour peu que l'intervalle entre les deux notes soit composé d'un nombre entier de demi-tons.

La gamme chromatique à tempérament égal

Un intervalle musical est un rapport de fréquences, et l'échelle chromatique à tempérament égal divise l'octave (qui a un rapport de 2:1) en douze parties égales (les demi-tons). Chaque note a une fréquence en hertz (Hz) qui est ${\sqrt[{12}]{2}}$ fois plus haute que la note en-dessous.

En appliquant cette valeur sur les notes de la gamme, partant du La₄₄₀ dont la fréquence est de 440 Hz, on peut calculer leur fréquence en multipliant 440 Hz par le coefficient correspondant.

Par exemple, pour trouver la fréquence du Do, trois demi-tons au dessus du La 440 :

440 Hz ×

({\sqrt[{12}]{2}})^{3}

= 440 Hz × 1,189207 = 523.25 Hz.

Note	Intervalle standard relativement au La 440	Fréquence (Hz)	Multiplicateur	Valeur (à six décimales)	Intonation juste
La	Unisson	440.00	2^⁰⁄₁₂ ou 1	1,000 000	1
La dièse / Si bémol	Seconde mineure	466.16	2^¹⁄₁₂ ou ${\sqrt[{12}]{2}}$	1,059 463	≈ ¹⁶⁄₁₅
Si	Seconde majeure	493.88	2^²⁄₁₂ ou $({\sqrt[{12}]{2}})^{2}$	1,122 462	≈ ⁹⁄₈
Do	Tierce mineure	523.25	2^³⁄₁₂ ou $({\sqrt[{12}]{2}})^{3}$	1,189 207	≈ ⁶⁄₅
Do dièse / Ré bémol	Tierce majeure	554.37	2^⁴⁄₁₂ ou $({\sqrt[{12}]{2}})^{4}$	1,259 921	≈ ⁵⁄₄
Ré	Quarte	587.33	2^⁵⁄₁₂ ou $({\sqrt[{12}]{2}})^{5}$	1,334 839	≈ ⁴⁄₃
Ré dièse / Mi bémol	Quarte augmentée / Quinte diminuée / Triton	622.25	2^⁶⁄₁₂ ou $({\sqrt {2}})$	1,414 213	≈ ⁷⁄₅
Mi	Quinte	659.26	2^⁷⁄₁₂ ou $({\sqrt[{12}]{2}})^{7}$	1,498 307	≈ ³⁄₂
Fa	Sixte	698.46	2^⁸⁄₁₂ ou $({\sqrt[{12}]{2}})^{8}$	1,587 401	≈ ⁸⁄₅
Fa dièse / Sol bémol	Sixte majeure	739.99	2^⁹⁄₁₂ ou $({\sqrt[{12}]{2}})^{9}$	1,681 792	≈ ⁵⁄₃
Sol	Septième mineure	783.99	2^{¹⁰⁄₁₂}	1,781 797	≈ ¹⁶⁄₉
Sol dièse / La bémol	Septième majeure	830.61	2^{¹¹⁄₁₂}	1,887 748	≈ ¹⁵⁄₈
La	Octave	880.00	2^{¹²⁄₁₂} ou 2	2,000 000	2