Produit direct

La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, on peut appeler produit direct un produit qui commute avec le foncteur d'oubli^{[réf. souhaitée]}. C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Produit direct de deux magmas

Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne $*_{E}$ et F un ensemble muni d'une loi de composition interne $*_{F}$. On peut définir une loi de composition interne $*$ sur le produit cartésien E×F de la façon suivante :

$(x,y)*(x',y')=(x*_{E}x',y*_{F}y').$

Propriétés

• Si $*_{E}$ et $*_{F}$ sont associatives, alors la loi $*$ est associative.
• Si $*_{E}$ et $*_{F}$ sont commutatives, alors la loi $*$ est commutative.
• Si $*_{E}$ admet un élément neutre e et si $*_{F}$ admet un élément neutre f, alors $(e,f)$ est neutre pour $*$.
  • Si de plus x admet un symétrique x' pour $*_{E}$ et si y admet un symétrique y' pour $*_{F}$, alors (x, y) admet (x', y') comme symétrique.

Produit direct de magmas

Soit (E_i)_i∈I une famille d'ensembles, chaque E_i étant muni d'une loi de composition interne $\star _{i}$. On peut définir une loi de composition interne $*$ sur le produit cartésien ∏_i∈I E_i de la façon suivante :

$(x_{i})_{i\in I}*(x'_{i})_{i\in I}=(x_{i}\star _{i}x'_{i})_{i\in I}$

Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou infini.

Propriétés

• Si chaque loi $\star _{i}$ est associative, la loi $*$ est associative.
• Si chaque loi $\star _{i}$ est commutative, la loi $*$ est commutative.
• Si chaque loi $\star _{i}$ possède un élément neutre e_i (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche), la famille (e_i)_i∈I est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour $*$.
• Si chaque loi $\star _{i}$ possède un élément neutre et si dans chaque E_i, un élément quelconque x_i possède un symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) y_i, alors la famille (x_i)_i∈I admet la famille (y_i)_i∈I comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupes est un groupe.

Produit direct d'anneaux

Soit (E_i)_i∈I une famille d'ensembles, chaque E_i étant muni de deux lois $+_{i}$ et $*_{i}$. On peut comme précédemment définir une loi $+$, produit direct des $+_{i}$ et une loi $*$, produit direct des lois $*_{i}$.

Si chaque loi $*_{i}$ est distributive par rapport à la loi $+_{i}$, alors la loi $*$ est distributive par rapport à la loi $+$.

En particulier, si chaque E_i est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Produit direct d'espaces vectoriels

Soit une famille (E_i)_i∈I d'espaces vectoriels sur un même corps K. Les lois suivantes font du produit cartésien ∏_i∈I E_i un K-espace vectoriel, appelé produit de la famille (E_i)_i∈I :

$(u_{i})_{i\in I}+(v_{i})_{i\in I}=(u_{i}+v_{i})_{i\in I},\quad \lambda (u_{i})_{i\in I}=(\lambda u_{i})_{i\in I}.$

Le vecteur nul est la famille (0)_i∈I formée par les vecteurs nuls des espaces E_i.

Lorsque tous les E_i sont égaux à un même K-espace vectoriel E (par exemple à K, vu comme K-droite vectorielle), ∏_i∈I E_i est l'espace vectoriel E^I des applications de I dans E.

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Somme directe