Processus d'Ornstein-Uhlenbeck

En mathématiques, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, nommé d'après Leonard Ornstein et George Uhlenbeck et aussi connu sous le nom de mean-reverting process, est un processus stochastique décrit par l'équation différentielle stochastique

$dr_{t}=-\theta (r_{t}-\mu )\,dt+\sigma \,dW_{t},\,$

où θ, μ et σ sont des paramètres déterministes et W_t est le processus de Wiener.

Trois exemples du processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec θ=1, μ=1.2, σ=0.3:
Bleu : Valeur initiale a=0 (p. s.)
Vert : Valeur initiale a=2 (p. s.)
Rouge : Valeur initiale distribuée normalement ainsi le procédé a une mesure invariante

Solution

Cette équation est résolue par la méthode de variation des constantes. Appliquons le lemme d'Itō à la fonction $f(r_{t},t)=r_{t}e^{\theta t}$ pour obtenir

$df(r_{t},t)=\theta r_{t}e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dr_{t}\,=e^{\theta t}\theta \mu \,dt+\sigma e^{\theta t}\,dW_{t}.\,$

En intégrant de 0 à t, on obtient

$r_{t}e^{\theta t}=r_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta s}\,dW_{s}\,$

d'où nous voyons

$r_{t}=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (s-t)}\,dW_{s}.\,$

Ainsi, le premier moment est donné (en supposant que $r_{0}$ est une constante) par :

$E(r_{t})=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t}).$

$s\wedge t=\min(s,t)$ On peut utiliser l'isométrie d'Itō (en) pour calculer la covariance

$\operatorname {cov} (r_{s},r_{t})=E[(r_{s}-E[r_{s}])(r_{t}-E[r_{t}])]$

$=E[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}]$

$=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}E[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}]$

$={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s\wedge t)}-1).\,$

Il est aussi possible (et souvent commode) de représenter $r_{t}$ (sans condition) en tant que mesure transformée du temps du processus Wiener :

$r_{t}=\mu +{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}$

ou avec condition ($r_{0}$ donné) comme

$r_{t}=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}.$

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck (un exemple de processus gaussien à variance bornée) admet une distribution de probabilité stationnaire, contrairement au processus de Wiener.

L'intégrale temps de ce processus peut être utilisée pour générer un bruit avec un spectre de puissance 1/f.

Application

Le modèle de Vasicek (en) des taux d'intérêt est un exemple de processus d'Ornstein-Uhlenbeck où les coefficients sont positifs et constants.

Le Processus CIR, le modèle de Cox, Ingersoll et Ross (1985) est une extension du modèle de Vasicek et du processus d'Ornstein-Uhlenbeck qui introduit la racine carrée du taux d'intérêt instantané dans le coefficient du terme stochastique.

Bibliographie

• (en) Sandra Cerrai et Alessandra Lunardi, « Schauder theorems for Ornstein-Uhlenbeck equations in infinite dimension », Journal of Differential Equations, Elsevier, vol. 267,‎ 2019, p. 7462-7482 (lire en ligne).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ornstein–Uhlenbeck process » (voir la liste des auteurs).