Problème du recouvrement universel de Lebesgue
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En géométrie, le problème du recouvrement universel de Lebesgue est un problème non résolu (en février 2023) demandant de déterminer un convexe d'aire minimale pouvant recouvrir toute partie du plan de diamètre égal à 1, après une éventuelle rotation et/ou une symétrie (le diamètre d'un ensemble est par définition la borne supérieure des distances entre deux points de l'ensemble) [1].
Ce problème a été posé par Henri Lebesgue dans une lettre à Gyula Pál en 1914. Il a été publié avec une réponse dans un article de Pál de 1920 [2].
Recouvrements connus
modifierLe théorème de Jung (1901) assure que le disque de rayon , d'aire a la propriété de recouvrement universel.
Après avoir montré qu'il suffit qu'un convexe recouvre toutes les courbes de largeur constante 1 pour recouvrir tous les ensembles de diamètre 1, Pál a montré que l'hexagone régulier de cercle inscrit de diamètre 1, donc de rayon , et d'aire a la propriété de recouvrement universel.
Puis il a montré qu'on pouvait "raboter" deux sommets de l'hexagone, en enlevant deux triangles laissant toujours un cercle inscrit de diamètre 1, tout en conservant la propriété. Cet hexagone tronqué de Pál a une aire de .
En 1936, Roland Sprague a montré qu'on pouvait retirer un fragment de l'hexagone tronqué de Pál près de l'un des autres sommets, tout en conservant la propriété de recouvrement, ce qui donne une aire [3].
En 1992, Hansen a montré qu'on pouvait supprimer deux autres très petites régions de la solution de Sprague, ramenant la limite supérieure de l'aire à . La construction de Hansen a été la première demandant d'utiliser les symétries [4].
En 2015, John Baez, Karine Bagdasaryan et Philip Gibbs ont montré que si les triangles évidés dans le recouvrement de Pál sont coupés suivant un autre angle, il est alors possible de réduire l'aire, ce qui a donné une borne supérieure [5].
En octobre 2018, Philip Gibbs a publié un article sur arXiv utilisant la géométrie niveau lycée et obtenant une nouvelle réduction à 0,8440935944 [6],[7].
La borne inférieure la plus connue pour l'aire été donnée en 2005 par Peter Brass et Mehrbod Sharifi en utilisant une combinaison de trois formes dans un alignement optimal, montrant que l'aire d'un convexe recouvrant universel devait avoir une aire [8].
Voir aussi
modifier- Le problème du ver de Moser, demandant l'aire minimale d'une forme pouvant recouvrir toute courbe de longueur 1.
- Le problème du sofa, demandant de trouver une forme d'aire maximale pouvant passer dans un couloir en forme de L.
- Le problème de l'aiguille de Kakeya, demandant une forme d'aire minimale pouvant recouvrir tout segment de longueur 1 (avec autorisation des translations, mais pas des rotations d'angle non nul).
- Le théorème de sélection de Blaschke (en), qui peut être utilisé pour prouver que le problème du recouvrement universel de Lebesgue possède une solution.
Références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lebesgue's universal covering problem » (voir la liste des auteurs).
- David Wells, Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques, Eyrolles, , p. 123
- (de) Pál, « 'Über ein elementares Variationsproblem », Danske Mat.-Fys. Meddelelser III, vol. 2,
- (en) Sprague, « Über ein elementares Variationsproblem », Matematiska Tidsskrift Ser. B, , p. 96–99 (JSTOR 24530328)
- (en) Hansen, « Small universal covers for sets of unit diameter », Geometriae Dedicata, vol. 42, no 2, , p. 205–213 (DOI 10.1007/BF00147549, MR 1163713, S2CID 122081393)
- (en) Baez, Bagdasaryan et Gibbs, « The Lebesgue universal covering problem », Journal of Computational Geometry, vol. 6, , p. 288–299 (DOI 10.20382/jocg.v6i1a12, MR 3400942, arXiv 1502.01251, S2CID 20752239)
- (en) Philipp Gibbs, « An Upper Bound for Lebesgue’s Covering Problem », Arxiv, (lire en ligne)
- (en) « Amateur Mathematician Finds Smallest Universal Cover » [archive du ], Quanta Magazine (consulté le )
- (en) Brass et Sharifi, « A lower bound for Lebesgue's universal cover problem », International Journal of Computational Geometry and Applications, vol. 15, no 5, , p. 537–544 (DOI 10.1142/S0218195905001828, MR 2176049)