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Dans cette partie,
Ω
=
D
(
0
,
1
)
{\displaystyle \Omega =D(0,1)}
D
(
0
,
1
)
{\displaystyle D(0,1)}
On a toujours
G
:
∂
Ω
→
R
{\displaystyle G:\partial \Omega \to \mathbb {R} }
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
On pose :
g
:
R
→
R
θ
↦
G
(
cos
θ
,
sin
θ
)
{\displaystyle g:{\begin{matrix}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\\theta &\mapsto &G(\cos \theta ,\sin \theta )\end{matrix}}}
La solution est
Φ
:
Ω
→
R
{\displaystyle \Phi :\Omega \to \mathbb {R} }
Φ
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
=
{
∑
n
∈
Z
C
n
(
g
)
r
|
n
|
e
n
i
θ
,
si
r
<
1
g
(
θ
)
,
si
r
=
1
{\displaystyle \Phi (r\cos \theta ,r\sin \theta )=\left\{{\begin{matrix}\sum _{n\in \mathbb {Z} }C_{n}(g)r^{\left|n\right|}e^{ni\theta },&{\mbox{si }}r<1\\g(\theta ),&{\mbox{si }}r=1\end{matrix}}\right.}
où
C
n
(
g
)
{\displaystyle C_{n}(g)\,}
série de Fourier de la fonction g .
C
n
(
g
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
g
(
θ
)
e
−
i
n
θ
d
θ
{\displaystyle C_{n}(g)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g(\theta )e^{-in\theta }d\theta }
Preuve :
La continuité de la fonction ainsi que le fait qu'elle soit réelle découle des résultats sur les sommations de Poisson , liés aux séries de Fourier .
Φ
{\displaystyle \Phi \,}
partie réelle d'une fonction analytique . On remarque en effet que
Φ
{\displaystyle \Phi \,}
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Lorsque le problème admet une solution et que
Ω
{\displaystyle \Omega }
Preuve :
Soient
Φ
{\displaystyle \Phi \,}
Ψ
{\displaystyle \Psi \,}
Ω
{\displaystyle \Omega \,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Φ
{\displaystyle \Phi \,}
Ψ
{\displaystyle \Psi \,}
On pose
ω
=
Φ
−
Ψ
{\displaystyle \omega =\Phi -\Psi \,}
Calculons
∫
Ω
∑
i
=
1
n
(
∂
ω
∂
x
i
)
2
d
A
{\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA\quad }
d
A
{\displaystyle dA\,}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
On obtient :
∫
Ω
[
∑
i
=
1
n
∂
(
ω
∂
ω
∂
x
i
)
∂
x
i
−
ω
Δ
ω
]
d
A
{\displaystyle \int _{\Omega }\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left(\omega {\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)}{\partial x_{i}}}-\omega \Delta \omega \right]dA}
Or
Δ
ω
=
Δ
Φ
−
Δ
Ψ
=
0
{\displaystyle \Delta \omega =\Delta \Phi -\Delta \Psi =0\,}
On applique à présent le théorème de la divergence et obtient :
∫
Ω
∑
i
=
1
n
(
∂
ω
∂
x
i
)
2
d
A
=
∫
∂
Ω
ω
[
(
∑
i
=
1
n
∂
ω
∂
x
i
s
i
)
]
d
S
{\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA=\int _{\partial \Omega }\omega \left[\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}s_{i}\right)\right]dS\quad }
s
→
=
(
s
1
,
s
2
,
.
.
.
,
s
n
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},s_{2},...,s_{n})}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
d
S
{\displaystyle dS\,}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
∫
Ω
∑
i
=
1
n
(
∂
ω
∂
x
i
)
2
d
A
=
0
{\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA=0\quad }
ω
=
0
{\displaystyle \omega =0\,}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
Conclusion :
∑
i
=
1
n
(
∂
ω
∂
x
i
)
2
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)^{2}=0}
et donc
∀
i
=
1
,
.
.
.
,
n
∂
ω
∂
x
i
=
0
{\displaystyle \forall i=1,...,n\quad {\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}=0}
ω
{\displaystyle \omega \,}
ω
=
0
{\displaystyle \omega =0\quad \,}
Ω
{\displaystyle \Omega \,}
ω
=
0
{\displaystyle \omega =0\,}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
Dans le cas de
Ω
{\displaystyle \Omega }
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
x
{\displaystyle x}
x
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}
On a l'équivalence suivante :
Φ
solution au probl
e
`
me de Dirichlet
⇔
{
∀
Ψ
continue et de classe
C
n
sur
Ω
a
`
valeur dans
R
, prolongeant G
∫
Ω
∑
i
=
1
n
(
∂
Ψ
∂
x
i
)
2
d
A
>
∫
Ω
∑
i
=
1
n
(
∂
Φ
∂
x
i
)
2
d
A
{\displaystyle \Phi {\mbox{ solution au probl}}{\grave {\mbox{e}}}{\mbox{me de Dirichlet}}\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}\forall \Psi {\mbox{ continue et de classe }}{\mathcal {C}}^{n}{\mbox{ sur }}\Omega \ {\grave {a}}{\mbox{ valeur dans }}\mathbb {R} {\mbox{, prolongeant G}}\\\\\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA>\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA\end{matrix}}\right.}
Le premier sens de l'équivalence se prouve de manière similaire à l'unicité de la solution.
Dirichlet avait déjà trouvé cette équivalence et il en avait déduit que le problème avait toujours une solution (c'est ce qu'on appelle le principe de Dirichlet ). En effet, il lui semblait évident que l'on pouvait minimiser l'intégrale. Riemann et Gauss étaient de son avis. Weierstrass montra avec un contre-exemple que ce n'était pas toujours possible.
![{\displaystyle \int _{\Omega }\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left(\omega {\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)}{\partial x_{i}}}-\omega \Delta \omega \right]dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef89371369214801c29615fe1dacf5ff3838b6ab)
![{\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA=\int _{\partial \Omega }\omega \left[\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}s_{i}\right)\right]dS\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e2acf1639fed44a921d39e3933cf8af08c2f9a)
