En physique mathématique , un potentiel de Pöschl-Teller , nommé d'après les physiciens Herta Pöschl[ 1] (crédité comme G. Pöschl) et Edward Teller , est une classe spéciale de potentiels pour lesquels l'équation de Schrödinger à une dimension peut être résolue en termes de fonctions spéciales .
Bien que Pöschl et Teller introduisirent, dans leur article[ 2] de 1933, le potentiel sous sa forme générale[ 3]
V
(
x
)
=
ν
(
ν
−
1
)
2
sinh
2
(
x
)
−
λ
(
λ
+
1
)
2
cosh
2
(
x
)
,
{\displaystyle {\displaystyle V(x)={\frac {\nu (\nu -1)}{2\,\sinh ^{2}(x)}}-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}}\,,}
pour
λ
,
ν
>
1
{\displaystyle \lambda ,\nu >1}
, de nos jours la dénomination « potentiel de Pöschl–Teller » fait plutôt référence au cas symétrique
ν
=
1
{\displaystyle \nu =1}
pour
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
:
V
(
x
)
=
−
λ
(
λ
+
1
)
2
cosh
2
(
x
)
.
{\displaystyle {\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}}\,.}
Les solutions indépendantes du temps de l'équation (unidimensionnelle) de Schrödinger avec ce potentiel,
−
1
2
ψ
″
(
x
)
+
V
(
x
)
ψ
(
x
)
=
E
ψ
(
x
)
,
{\displaystyle {\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}\,,}
peuvent alors être déterminées grâce à la substitution
u
=
t
a
n
h
(
x
)
{\displaystyle u=\mathrm {tanh} (x)}
qui conduit à l'équation générale de Legendre
[
(
1
−
u
2
)
ψ
′
(
u
)
]
′
+
λ
(
λ
+
1
)
ψ
(
u
)
+
2
E
1
−
u
2
ψ
(
u
)
=
0
{\displaystyle \left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0}
dont les solutions sont les fonctions associées de Legendre
P
λ
μ
(
u
)
{\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(u)}}
et
Q
λ
μ
(
u
)
{\displaystyle {\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(u)}}
de degré
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
et d'ordre
μ
∈
C
{\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }
lorsque
E
=
−
μ
2
/
2
{\displaystyle {\displaystyle E={-\mu ^{2}/2}}}
.
Potentiel de Pöschl–Teller symétrique pour
λ
=
6
{\displaystyle \lambda =6}
(courbe noir) et ses six valeurs propres (lignes rouges)
E
=
−
μ
2
/
2
,
μ
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
{\displaystyle {\displaystyle E={-\mu ^{2}/2}}\,,\ \mu =1,2,3,4,5,6}
.
Cependant, seules les fonctions
P
λ
−
μ
∘
tanh
{\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{-\mu }\circ \tanh }}
pour
(
λ
,
μ
)
{\displaystyle (\lambda ,\mu )}
tels que
(
λ
∈
N
et
μ
=
±
(
λ
+
1
−
j
)
)
{\displaystyle (\lambda \in \mathbb {N} {\text{ et }}\mu =\pm (\lambda +1-j))}
ou
(
0
<
λ
∉
N
et
μ
=
λ
+
1
−
j
)
{\displaystyle (0<\lambda \not \in \mathbb {N} {\text{ et }}\mu =\lambda +1-j)}
, où
j
=
1
,
…
,
⌈
λ
⌉
{\displaystyle j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil }
, sont dans
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
[ 4] et donc des fonctions propres de l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique. De plus, dans le cas
λ
∈
N
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }
, la fonction
P
λ
λ
+
1
−
j
∘
tanh
{\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{\lambda +1-j}\circ \tanh }}
ne diffère de
P
λ
−
(
λ
+
1
−
j
)
∘
tanh
{\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh }}
que par une constante multiplicative, il s'agit donc d'une seule et même fonction propre.
Par conséquent, l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique n'admet des valeurs propres que pour
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
et
μ
=
λ
+
1
−
j
{\displaystyle {\displaystyle \mu =\lambda +1-j}}
, où
j
=
1
,
…
,
⌈
λ
⌉
{\displaystyle j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil }
, et ces
⌈
λ
⌉
{\displaystyle \lceil \lambda \rceil }
valeurs propres sont alors
E
j
=
−
(
λ
+
1
−
j
)
2
/
2
{\displaystyle E_{j}={-(\lambda +1-j)^{2}/2}}
, avec les fonctions propres associées
P
λ
−
(
λ
+
1
−
j
)
∘
tanh
{\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh }}
.
En outre, les données de diffusion à faible énergie peuvent être explicitement calculées[ 5] .
Dans le cas particulier où
λ
{\displaystyle \lambda }
est un entier naturel non nul [à vérifier] , le potentiel est sans réflexion et de tels potentiels peuvent également être solutions N-solitons de l'équation de Korteweg–de Vries .
Un potentiel lié, le potentiel de Rosen-Morse, possède un terme supplémentaire[ 6] :
V
(
x
)
=
−
λ
(
λ
+
1
)
2
cosh
2
(
x
)
−
g
tanh
(
x
)
.
{\displaystyle {\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}-g\tanh(x)}\,.}
↑ "Edward Teller Biographical Memoir." by Stephen B. Libby and Andrew M. Sessler, 2009 (published in Edward Teller Centennial Symposium: modern physics and the scientific legacy of Edward Teller , World Scientific, 2010 .
↑ (de) G. Pöschl et E. Teller , « Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators », Zeitschrift für Physik , vol. 83, nos 3–4, 1933 , p. 143–151 (ISSN 1434-6001 et 1434-601X , DOI 10.1007/bf01331132 , Bibcode 1933ZPhy...83..143P , lire en ligne , consulté le 4 octobre 2018 ) .
↑ Voir la formule « (2b) » de l'article suscité.
↑ En effet, les fonctions
Q
λ
μ
{\displaystyle {\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }}}
divergent en
−
1
{\displaystyle -1}
ou en
+
1
{\displaystyle +1}
— donc ne sont pas dans
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
— pour tous les couples
(
λ
,
μ
)
∈
C
2
{\displaystyle (\lambda ,\mu )\in \mathbb {C} ^{2}}
pour lesquelles elles sont définies sur
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1)}
. D'autre part, les fonctions
P
λ
μ
{\displaystyle {\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}}
sont non triviales tout en convergeant vers
0
{\displaystyle 0}
en
±
1
{\displaystyle \pm 1}
uniquement pour les couples
(
λ
,
μ
)
{\displaystyle (\lambda ,\mu )}
tels que (
λ
∈
N
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }
et
μ
=
±
(
λ
+
1
−
j
)
{\displaystyle \mu =\pm (\lambda +1-j)}
) ou (
0
<
λ
∉
N
{\displaystyle 0<\lambda \not \in \mathbb {N} }
et
μ
=
−
(
λ
+
1
−
j
)
{\displaystyle \mu =-(\lambda +1-j)}
) où
j
=
1
,
…
,
⌈
λ
⌉
{\displaystyle j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil }
. Voir NIST Digital Library of Mathematical Functions, §14.8 Behavior at Singularities pour les limites en
±
1
{\displaystyle \pm 1}
.
↑ Pages 244–247 de (en) Siegfried Flügge , Practical Quantum Mechanics , Berlin, Heidelberg, Springer, décembre 1998 , 1re éd. , XV, 620 (ISBN 978-3-540-65035-5 et 978-3-642-61995-3 , ISSN 1431-0821 et 2512-5257 , DOI 10.1007/978-3-642-61995-3 ) .
↑ (en) A. O. Barut , A. Inomata et R. Wilson , « Algebraic treatment of second Poschl-Teller, Morse-Rosen and Eckart equations », Journal of Physics A: Mathematical and General , vol. 20, no 13, 1987 , p. 4083 (ISSN 0305-4470 , DOI 10.1088/0305-4470/20/13/017 , lire en ligne , consulté le 4 octobre 2018 ) .