Point cuspidal

En géométrie, un point cuspidal ou point de pincement ou singularité de Whitney est un type de singularité sur une surface algébrique, qui correspond à l'extrémité d'une ligne d'auto-intersection d'une courbe algébrique .

Section du parapluie de Whitney, un exemple de singularité de point cuspidal.

L'équation pour la surface proche d'un point cuspidal peut être mise sous la forme

$f(u,v,w)=u^{2}-vw^{2}+[4]\,$

où [4] désigne des termes de degré 4 ou plus et $v$ n'est pas un carré dans l'anneau des fonctions.

Par exemple, la surface $1-2x+x^{2}-yz^{2}=0$ près du point $(1,0,0)$, signifiant que les coordonnées disparaissent à ce point, a la forme ci-dessus. En fait, si $u=1-x,v=y$ et $w=z$ alors { $u,v,w$ } est un système de coordonnées s'annulant en $(1,0,0)$ alors $1-2x+x^{2}-yz^{2}=(1-x)^{2}-yz^{2}=u^{2}-vw^{2}$ est écrit sous la forme canonique.

L'exemple le plus simple d'un point cuspidal est l'hypersurface définie par l'équation $u^{2}-vw^{2}=0$ appelé parapluie de Whitney .

Le point cuspidal (dans ce cas l'origine) est une singularité de type croisement normal (le $v$ -axe dans ce cas). Ces points singuliers sont intimement liés dans le sens où pour résoudre la singularité du point de pincement, il faut éclater tout l'axe ''v'' et pas seulement le point cuspidal.

Voir aussi

• Point de rebroussement
• Parapluie de Whitney
• Singularité d'une variété algébrique

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pinch point (mathematics) » (voir la liste des auteurs).
• P. Griffiths et J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley Interscience, coll. « Wiley Classics Library », 1994, 23–25 p. (ISBN 0-471-05059-8)
• (en) Naofumi Honda et Takahiro Kawai, « A study of pinch points and cusps in the Landau-Nakanishi geometry », RIMS Reports,‎ 2016 (lire en ligne)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Pinch Point », sur MathWorld