Plan affine arguésien

Dans une approche axiomatique de la géométrie affine, un plan affine arguésien ou plan affine de Desargues (ou desarguésien) est un plan affine au sens des axiomes d'incidence, vérifiant de plus l'axiome de Desargues :

Axiome de Desargues.

Cas de trois droites concourantes. Cas de trois droites parallèles.

Pour toutes droites distinctes d₁, d₂ et d₃ concourantes ou parallèles et pour tous points A₁ et B₁ incidents à d₁, A₂ et B₂ incidents à d₂, A₃ et B₃ incidents à d₃,

si (A₁A₂)//(B₁B₂) et (A₂A₃)//(B₂B₃) alors (A₁A₃)//(B₁B₃).

Ajouté aux axiomes d'incidence des plans affines, qui permettent de définir les homothéties et les translations, cet axiome équivaut à l'existence de suffisamment d'homothéties (dans le cas de droites concourantes) et de translations (dans le cas de droites parallèles). De ce fait, tout plan de Desargues se réalise comme un plan affine sur un corps K (éventuellement non commutatif), dont le plan vectoriel directeur est défini comme l'ensemble des translations du plan ; le groupe multiplicatif de K s'identifie au groupe des homothéties de centre un point donné. Réciproquement, d'après le théorème de Desargues, tout plan affine, au sens « espace affine de dimension 2 sur un corps », satisfait (les axiomes d'incidence et) l'axiome de Desargues.

En dimension supérieure ou égale à 3, la propriété de Desargues est un théorème qui se démontre à l'aide des seuls axiomes d'incidence de la géométrie affine.

Pour un plan affine arguésien, la commutativité du corps sous-jacent équivaut à la propriété de Pappus, que l'on peut prendre pour axiome. On appelle alors plan affine de Pappus un plan affine arguésien vérifiant l'axiome de Pappus. Il s'avère que l'axiome de Desargues devient alors redondant, d'après le théorème de Hessenberg.

Homothéties-translations

Définition, unicité et nature

Construction de l'image de M à partir de celles de A et B.

Une homothétie-translation d'un plan affine (non nécessairement arguésien) est par définition une bijection, de l'ensemble des points dans lui-même, qui envoie (bijectivement) toute droite sur une droite parallèle. L'application induite, de l'ensemble des droites dans lui-même, est alors également bijective.

Une homothétie-translation est entièrement déterminée par les images de deux points distincts, c'est-à-dire qu'étant donnés quatre points A, B, A' et B' avec A ≠ B, il existe au plus une homothétie-translation qui envoie A sur A' et B sur B'.

D'après cette unicité, une homothétie-translation différente de l'identité a au plus un point fixe. Si elle en a un, on dit que c'est une homothétie de centre ce point ; si elle n'en a pas, on l'appelle translation. L'identité est considérée à la fois comme une homothétie (de centre arbitraire) et comme une translation.

• Une translation est uniquement définie par l'image d'un point.
• Une homothétie est uniquement définie par son centre O et l'image d'un point distinct de O.

Existence

Pour quatre points A, B, A' et B' avec A ≠ B, une condition nécessaire pour qu'il existe une homothétie-translation envoyant A sur A' et B sur B' est que A' soit différent de B' et que les droites (AB) et (A'B') soient parallèles. En présence de l'axiome de Desargues, cette condition nécessaire est aussi suffisante.

Théorème — Dans un plan affine de Desargues, si A ≠ B, A' ≠ B' et si (AB) et (A'B') sont parallèles, alors il existe une (unique) homothétie-translation qui envoie A sur A' et B sur B'.

Il suffit de démontrer que :

• pour tous points C et C', il existe une translation qui envoie C sur C' ;
• pour tous points alignés O, D et D' avec D et D' distincts de O, il existe une homothétie de centre O qui envoie D sur D'.

En effet, le premier point fournira une translation t qui envoie A sur A' ; le point t(B) étant alors sur (A'B') et distinct de A', le second point fournira une homothétie h de centre A' qui envoie t(B) sur B', et l'homothétie-translation h∘t enverra bien A sur A' et B sur B'.

Le premier point équivaut à l'axiome de Desargues dans le cas de trois droites parallèles et le second équivaut à l'axiome dans le cas de trois droites concourantes. Démontrons, pour le premier point, l'implication utile ici (elle se démontre de même pour le second point).

Construction d'une translation qui envoie C sur C'.

On peut supposer C ≠ C' (car dans le cas d'égalité, la solution évidente est l'identité).

Soit t_C,C' l'application, définie seulement sur le plan privé de la droite (CC'), qui envoie chaque point M ∉ (CC') sur le point d'intersection M' de la parallèle à (CC') passant par M et de la parallèle à (CM) passant par C'.

Les deux points M et M' étant alors distincts, on peut définir de même une application t_M,M', sur le plan privé de la droite (MM'). Cette application envoie C sur C'.

D'après l'axiome de Desargues, t_M,M' et t_C,C' coïncident en tout point qui n'est ni sur (CC'), ni sur (MM'). Elles ont donc un prolongement commun t à tout le plan. Montrons que t est une dilatation. Soient U et V deux points distincts, il faut montrer que leurs images par t sont distinctes et définissent une droite parallèle à (UV).

Le seul cas problématique est celui où U est sur l'une des deux droites (CC') ou (MM') et V est sur l'autre (dans les autres cas, on peut utiliser t_M,M' ou t_C,C' pour calculer les images). Dans ce cas, en supposant que notre plan est d'ordre au moins 3 (ce qui est légitime, sachant déjà que l'unique plan affine d'ordre 2 vérifie le théorème), on peut choisir un point N qui n'est ni sur (CC'), ni sur (MM'), et utiliser t_N,N' (construit de la même façon que t_M,M').

Composition

Les homothéties-translations forment un groupe pour la composition, noté G, et les translations forment un sous-groupe normal, noté E(P). Les translations de direction donnée forment également un sous-groupe normal.

Si le plan P est arguésien, le groupe E(P) sera noté additivement, pour la raison suivante.

Théorème — Si le plan P est arguésien, le groupe E(P) des translations est commutatif.

Démonstration

Notons E_d le sous-groupe des translations de direction d fixée, et S son complémentaire. Pour toute translation s ∈ S, de direction d' ≠ d, les sous-groupes E_d et E_d' étant normaux et d'intersection triviale, s commute avec tout élément de E_d, d'après les propriétés générales des commutateurs.

Or le sous-groupe E_d est propre — au sens : distinct de E(P) — donc son complémentaire S engendre E(P). D'après le point précédent, le centralisateur de E_d est donc E(P) tout entier, c'est-à-dire qu'une translation de direction (quelconque) d commute avec toutes les translations.

Les homothéties de centre fixé O forment un sous-groupe de G, dont on montrera (voir infra) qu'il est isomorphe au groupe multiplicatif d'un corps K tel que P soit un K-espace affine.

Structure d'espace affine

Espace affine de dimension 2

Un espace vectoriel (à gauche) sur un corps K (corps des scalaires) est un groupe commutatif (E, +) (dont les éléments sont appelés vecteurs), muni d'une loi externe K×E → E vérifiant les relations de distributivité et d'« associativité » suivantes, valables pour tous vecteurs $v,w\in E$ et pour tous scalaires $\lambda ,\mu \in K$ :

$\lambda .(v+w)=\lambda .v+\lambda .w\quad {\rm {et}}\quad \lambda .(\mu .v)=(\lambda \mu ).v.$

Un espace affine d'espace vectoriel directeur E est un ensemble A muni d'une action libre et transitive du groupe (E, +) sur A.

Les espaces affines de dimension 2 sont des plans affines de Desargues.

Réciproque

Montrons que réciproquement, tout plan affine de Desargues P est un espace affine de dimension 2 dont le plan vectoriel directeur (sur un corps non nécessairement commutatif) est le groupe des translations de P.

Comme le groupe E(P) des translations est commutatif, l'ensemble de ses endomorphismes est naturellement muni d'une structure d'anneau (avec + comme addition et ∘ comme multiplication, donc avec comme neutre additif l'endomorphisme nul, noté 0 — qui à toute translation associe le neutre id_P de E(P) — et comme neutre multiplicatif l'identité de E(P), notée 1). Le groupe E(P) est muni d'une structure naturelle de module à gauche sur cet anneau.

Le sous-ensemble des endomorphismes qui préservent la direction est un sous-anneau, noté K, et E(P) est donc un K-module. C'est même un K-espace vectoriel, car :

Théorème — (K, +, ∘) est un corps.

Démonstration

Soient σ un endomorphisme non nul de E(P) qui préserve la direction, et O un point arbitraire. Montrons qu'il existe une homothétie h de centre O telle que l'action de σ sur E(P) soit la conjugaison par h (cela prouvera que σ est inversible dans K, avec comme inverse la conjugaison par h⁻¹).

Pour tous points A et B, notons t_A,B la translation qui envoie A sur B, puis définissons h par h(M) = σ(t_O,M)(O).

Alors (puisque σ est un morphisme) h(O) = O et σ(t_A,B)(h(A)) = h(B) donc (puisque de plus σ préserve la direction) si B ≠ A, h(B) est sur la parallèle à (AB) passant par h(A), c'est-à-dire que h est une dilatation.

Enfin, h n'est pas constante (sinon on aurait, pour tout M : σ(t_O,M)(O) = h(M) = h(O) = O c'est-à-dire : pour toute translation t, σ(t) = id_P donc σ = 0).

Ainsi, h est une dilatation non constante donc bijective et pour toute translation t, les translations h∘t∘h⁻¹ et σ(t) sont bien égales puisque pour tout M, (h∘t_O,M∘h⁻¹)(O) = (h∘t_O,M)(O) = h(M) = σ(t_O,M)(O).

L'action naturelle de E(P) sur P est bien libre et transitive, ce qui fait de P un espace affine de direction le K-espace vectoriel E(P).

Théorème — Les sous-espaces affines de dimension 1 du K-espace affine P sont exactement les droites initialement données par la relation d'incidence.

Démonstration

Un sous-espace affine de dimension 1 de P est un ensemble de points de la forme (Kt)(O), pour tout point O et toute translation t différente de l'identité. Le point (0t)(O) est simplement id(O) = O. D'après la preuve du théorème précédent, les autres points (σt)(O) sont les points de la forme h∘t∘h⁻¹(O) = h(A), où h parcourt les homothéties de centre O et où A désigne le point t(O). L'ensemble (Kt)(O) est donc la droite (OA) (au sens de la relation d'incidence) et réciproquement, toute droite s'écrit sous cette forme.

Enfin, la dimension de P est nécessairement 2, ni plus (d'après le 3^e axiome d'incidence), ni moins (d'après le 2^e).

L'éventuelle commutativité du corps K dépend d'un axiome supplémentaire, la propriété de Pappus (version affine) :

Axiome de Pappus affine : Si les points A₁, B₁ et C₁ sont alignés, de même que les points A₂, B₂ et C₂, et si les droites (B₁C₂) et (C₁B₂) sont parallèles, de même que les droites (A₁B₂) et (B₁A₂), alors les droites (A₁C₂) et (C₁A₂) sont parallèles.

Plan affine de Pappus

Un plan affine de Pappus est un plan affine arguésien vérifiant l'axiome de Pappus affine (énoncé ci-contre).

On suppose les points A₁, B₁ et C₁ alignés, les points A₂, B₂ et C₂ sont également alignés sur une droite sécante avec la précédente en O, et les droites (B₁C₂) et (C₁B₂) parallèles, de même que les droites (A₁B₂) et (B₁A₂).

Soit h₁ l'homothétie de centre O qui envoie A₁ sur B₁, et h₂, l'homothétie de centre O qui envoie C₂ sur B₂. On déduit des conditions de parallélisme que h₂ ∘ h₁(A₁) = C₁ et h₁ ∘ h₂(C₂) = A₂. Les droites (A₁C₂) et (C₁A₂)sont parallèles si et seulement si les deux homothéties de centre O (définies chacune par l'image d'un point distinct de O) h₂ ∘ h₁ et h₁ ∘ h₂ sont identiques, c'est-à-dire si et seulement si le produit des rapports des deux homothéties h₁ et h₂ est commutatif.

Ceci assure l'équivalence (dans un plan affine arguésien) entre la commutativité du corps associé et l'axiome de Pappus, sachant que les cas particuliers de l'axiome non pris en compte sont soit triviaux (points A₁, B₁, C₁ et A₂, B₂, C₂ tous alignés), soit déjà démontrables dans un plan affine arguésien (droite passant par A₁, B₁ et C₁ strictement parallèle à la droite passant par A₂, B₂, et C₂), ainsi que déductibles du cas principal.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Emil Artin, Geometric Algebra, New York, Interscience Publishers, 1957 (lire en ligne). Trad. fr. Algèbre géométrique, réimpr. Jacques Gabay, 1996, chap. II.
• (en) P. Balbiani, V. Goranko, R. Kellerman et D. Vakarelov, « Logical Theories for Fragments of Elementary Geometry », dans M. Aiello, I. Pratt-Hartmann et J. van Benthem, Handbook of Spatial Logics, Springer, 2007 (lire en ligne), p. 343-428, preprint. Voir en particulier p. 372-376 (p. 32-36 du preprint) les diverses formes des axiomes de Desargues et de Pappus du plan affine et les liens logiques entre elles.
• Jacqueline Lelong-Ferrand, Fondements de la géométrie, Paris, PUF, 1985, 287 p. (ISBN 2-13-038851-5), chap. V.
• (en) Franz Rothe, « Pappus', Desargues' and Pascal's Theorems », sur UNC Charlotte.

Articles connexes

• Plan projectif arguésien
• Plan de Moufang