Permutation avec répétition

En mathématiques, les permutations avec répétition d'objets dont certains sont indifférenciés sont les divers groupements ordonnés de tous ces objets. Par exemple, 112, 121 et 211 pour deux chiffres 1 et un chiffre 2.

Lorsque nous permutons n objets partiellement discernables et rangés dans un certain ordre, nous retrouvons dans certains cas la même disposition. Considérons n objets dont k seulement sont distincts (k ≤ n) placés dans un n-uplet, et supposons que chacun d'entre eux apparaisse respectivement n₁ fois, n₂ fois, … , n_k fois avec n₁ + n₂ + … + n_k = n. Quand des éléments identiques de ce n-uplet sont permutés, nous obtenons le même n-uplet.

Par exemple, si nous voulons déterminer toutes les anagrammes du mot MATHÉMATIQUE, nous voyons qu'en échangeant les deux lettres A, le mot reste identique, tandis qu'en transposant les lettres É et E, nous obtenons un mot différent.

Définition

Soit E = {x₁, x₂, … , x_k} un ensemble fini de cardinal k. Soient n₁, n₂, … , n_k des entiers naturels et n leur somme.

Une permutation de n éléments de E avec n₁, n₂, … , n_k répétitions est un n-uplet d'éléments de E dans lequel chacun des éléments x₁, x₂, … , x_k de E apparaît respectivement n₁, n₂, … , n_k fois.

Exemple

Le n-uplet

${\begin{matrix}(\underbrace {x_{1},\ldots ,x_{1}} ,&\underbrace {x_{2},\ldots ,x_{2}} ,&\ldots ,&\underbrace {x_{k},\ldots ,x_{k}} )\\{}_{n_{1}{\rm {\,fois}}}&{}_{n_{2}{\rm {\,fois}}}&&{}_{n_{k}{\rm {\,fois}}}\end{matrix}}$

est une permutation avec répétition particulière.

Théorème

Le nombre de permutations de n éléments avec n₁, n₂, … , n_k répétitions est égal à ${\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\ldots n_{k}!}}$.

Ce nombre se note habituellement ${\binom {n}{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}}$, et est connu sous le nom de coefficient multinomial.

Une démonstration est disponible via le lien (voir infra) vers Wikiversité.

Application

${\begin{matrix}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})^{n}=&\underbrace {(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})\ldots (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})} \\&{}_{n{\rm {\,fois}}}\end{matrix}}$.

Le développement de ce produit de facteurs est une somme de produits qui peuvent être représentés par un n-uplet d'éléments x₁, x₂, … , x_k dans lequel pour tout 1 ≤ i ≤ n, un terme du i-ième facteur se trouve à la i-ème place.

Pour tout 1 ≤ i ≤ k, notons n_i le nombre de fois où x_i apparaît dans un tel n-uplet. Nous avons

n₁ + n₂ + … + n_k = n.

Sous réserve que la loi × soit commutative (ou plus généralement que les x_i commutent pour la loi ×), le produit correspondant à un tel n-uplet est égal à

$x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\ldots x_{k}^{n_{k}}$.

Étant donnés les entiers naturels n₁, n₂ , … , n_k tels que n₁ + n₂ + … + n_k = n, le nombre de termes de la forme $x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\ldots x_{k}^{n_{k}}$ est le nombre de permutations de n éléments avec n₁, n₂ , … , n_k répétitions.

On en déduit la formule du multinôme de Newton :

$(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})^{n}=\sum _{n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}=n}{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{k}!}}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\ldots x_{k}^{n_{k}}$

(qui inclut, pour k = 2, la formule du binôme).