Ovale de Cassini

En mathématiques, un ovale de Cassini est un ensemble de points du plan tel que le produit des distances de chaque point P de l'ovale à deux autres points fixés P₁ et P₂ est constant, c’est-à-dire de telle sorte que le produit

Quelques ovales de Cassini. Les foyers sont (-1, 0) et (1, 0).

$P_{1}P\times P_{2}P\,(=b^{2})\,$

soit constant. Les points P₁ et P₂ sont appelés les foyers de l'ovale.

Les ovales de Cassini portent le nom de Giovanni Domenico Cassini.

Si l'on note b² le produit constant qui précède, et a la demi-distance entre les foyers,

la forme de l'ovale dépend du rapport b/a.

• Si b/a est plus grand que 1, le lieu est une boucle simple et continue.
• Si b/a est plus petit que 1, le lieu est composé de deux boucles non sécantes.
• Si b/a est égal à 1, le lieu est une lemniscate de Bernoulli.

Équations

Si les foyers des ovales sont de coordonnées (a, 0) et (−a, 0), l'équation de la courbe est donnée par

$((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.\,$

Ou, en coordonnées polaires :

$r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.\,$

Propriétés

Trajectoires orthogonales

Les hyperboles équilatères (en noir) admettent comme trajectoires orthogonales des ovales de Cassini (ici, a = 1)

Les ovales de Cassini sont les trajectoires orthogonales aux hyperboles équilatères de centre (0, 0) et passant par le point (1, 0).

En effet, l'équation de cette famille d'hyperboles est

$y^{2}-x^{2}+\lambda xy+1=0,\,\lambda \in \mathbb {R} .$

Elle est solution de l'équation différentielle  :

$(x^{2}+y^{2}+1)y\,dx-(x^{2}+y^{2}-1)x\,dy=0.$

Ce qui donne l'équation différentielle des trajectoires orthogonales :

$(x^{2}+y^{2}+1)y\,dy+(x^{2}+y^{2}-1)x\,dx=0=d\left({\frac {1}{4}}(x^{2}+y^{2})^{2}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}\right).$

Les trajectoires orthogonales sont donc d'équation

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}+2y^{2}=\mu ,\,\mu \in \mathbb {R} ,$

et on retrouve bien l'équation des ovales de Cassini.

Sections planes d'un tore

Ovales de Cassini comme sections planes d'un tore (le tore de droite est à trou nul).

On obtient des ovales de Cassini par intersection d'un tore par un plan parallèle à son axe et à une distance égale au rayon du cercle générateur.

Généralisations

On peut faire de même avec plus de deux foyers, ou plus de deux dimensions.

Par exemple, un ovale de Cassini à n foyers est l'ensemble des points P vérifiant :

• $P_{1}P\times P_{2}P\times \cdots \times P_{n}P=b^{n}$

Cette définition s'étend naturellement à l'espace, ce qui définit une surface implicite.

• 
  Ovale de Cassini à trois foyers.
• 
  Surface de Cassini à 6 foyers.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Cassini Ovals », sur MathWorld
• Robert Ferréol, « Ovale de Cassini », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables