Nombre premier de Ramanujan
En mathématiques, un nombre premier de Ramanujan est un nombre premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers.
Origines et définition
modifierEn 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration[1] du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Tchebychev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :
- ;
en particulier :
où est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.
L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres 2, 11, 17, 29, 41 sont les plus petits entiers conformes à cette définition. Autrement dit :
- Le n-ième premier de Ramanujan est l'entier Rn le plus petit à satisfaire la condition :
- pour tout x ≥ Rn[2].
Une autre façon de formuler ce résultat est :
- Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers Rn les plus petits à garantir qu'il y a (au moins) n premiers dans ]x/2, x] pour tout x ≥ Rn.
Puisque Rn est le plus petit entier conforme à ces conditions, il doit être premier. En effet :
- Pour tout entier m fixé, pour tout ]x/2, x] contient les mêmes entiers ; donc Or donc doit contenir plus de premiers que Mais il ne peut en contenir qu'un de plus : ce ne peut être que Rn.
![{\displaystyle ]R_{n}/2,R_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba26248187a5aae6525fcc31ffc79a3573e5b75)
/2,R_{n}-1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e4a5180d03d4c9072e0f77a6e483fedf90fcf9)
Conséquence :
Par exemple, le nombre de nombres premiers dans ]6,5 ; 13] est trois (ce sont 7, 11, 13). Mais 13 n'est pas le troisième nombre de Ramanujan, car dans ]8 ; 16], il n'y a que deux nombres premiers (ce sont 11, 13). Ce n'est qu'à partir de 17 qu'il y a toujours au moins trois nombres premiers dans ]x/2, x], donc R3 = 17.
Liste de nombres premiers de Ramanujan
modifierLes plus petits termes de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont :
Inégalités et équivalences
modifier- Pour tout n ≥ 1,
- 2n ln(2n) < Rn < 4n ln(4n).
- Pour tout n > 1,
- p2n < Rn < p3n,
- où pn est le n-ième nombre premier.
- Si n tend vers l'infini, Rn est équivalent au 2n-ième premier, c.-à-d. :
- Rn ~ p2n ;
- et donc, en utilisant le théorème des nombres premiers,
- Rn ~ 2n ln(2n).
Tous ces résultats sont démontrés dans l'ouvrage "Ramanujan primes and Bertrand's postulate"[3], sauf l'inégalité Rn < p3n ci-dessus, qui fut conjecturée par Jonathan Sondow et démontrée par Shanta Laishram en 2010.
Notes et références
modifier- S. Ramanujan, "A proof of Bertrand's postulate". Journal of the Indian Mathematical Society 11 (1919), 181–182. [1]
- Jonathan Sondow, Ramanujan Prime from MathWorld
- J. Sondow, "Ramanujan primes and Bertrand's postulate". Amer. Math. Monthly 116 (2009), 630–635. [2]
