Nombre de Proth

En théorie des nombres, les nombres de Proth — nommés d'après le mathématicien François Proth — sont les entiers de la forme

p=k2^{n}+1,

où les entiers n et k sont tels que 0 < k < 2ⁿ.

Exemples

Les sept premiers nombres de Proth (suite A080075 de l'OEIS) sont : P₀ = 2¹ + 1 = 3

P₁ = 2² + 1 = 5

P₂ = 2³ + 1 = 9

P₃ = 3 × 2² + 1 = 13

P₄ = 2⁴ + 1 = 17

P₅ = 3 × 2³ + 1 = 25

P₆ = 2⁵ + 1 = 33

Tous les nombres de Fermat (k = 1, n = une puissance de 2) et les nombres de Cullen (k = n > 0) sont des nombres de Proth.

D'après le théorème de Proth, un nombre de Proth $p$ est premier si et seulement s'il existe un entier $a$ tel que :

a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}.