Nombre double de Mersenne

En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme

M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1

où $n$ est un entier strictement positif et $M n$ désigne le $n$ -ième nombre de Mersenne.

Premières valeurs

Les plus petits nombres doubles de Mersenne sont donc :

M M 1 = M 1 = 1

;

M M 2 = M 3 = 7

;

M M 3 = M 7 = 127

;

M M 4 = M 15 = 32 767 = 7 \times 31 \times 151

;

M M 5 = M 31 = 2 147 483 647

;

M M 6 = M 63 = 9 223 372 036 854 775 807 = 7 2 \times 73 \times 127 \times 337 \times 92 737 \times 649 657

;

M M 7 = M 127 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

.

Nombre double de Mersenne premier

Puisqu'un nombre de Mersenne $M n$ ne peut être premier que si $n$ est premier (condition nécessaire mais pas suffisante), un nombre double de Mersenne $M M p$ ne peut être premier que si $M p$ est un nombre de Mersenne premier (ce qui nécessite avant tout que $p$ le soit : on a vu par exemple que $M M 4$ et $M M 6$ ne sont pas premiers).

Les seuls nombres doubles de Mersenne premiers connus sont $M M 2$ , $M M 3$ , $M M 5$ et $M M 7$ .

Après 2, 3, 5 et 7, les premières valeurs de $p$ pour lesquelles $M p$ est premier sont $p$ = 13, 17, 19, 31. Pour ces quatre valeurs, $M M p$ n'est pas premier (des facteurs explicites ont été trouvés). Le candidat suivant, $M M 61$ , est bien trop grand pour les tests actuels.

Nombre de Catalan-Mersenne

Les nombres de Catalan-Mersenne c_n, définis par récurrence par c₀ = 2 et c_n+1 = M_{c_n}, sont de Mersenne pour n ≥ 1 et doubles de Mersenne pour n ≥ 2. Les cinq premiers (c₀ à c₄) sont les nombres premiers

2, M₂ = 3, M_M₂ = M₃ = 7, M_M₃ = M₇ = 127 et M_M₇ = M₁₂₇ (suite A007013 de l'OEIS).

Le suivant, c₅ = M_M₁₂₇, est encore plus énorme que le M_M₆₁ du § ci-dessus.

S’il faut définir un c₀, c’est parce qu’à l’époque de Mersenne, on considérait encore 1 comme un nombre premier^{[réf. souhaitée]}.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Double Mersenne number » (voir la liste des auteurs).
(en) Eric W. Weisstein, « Double Mersenne Number », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Catalan-MersenneNumber », sur MathWorld
(en) Chris Caldwell, « Mersenne Primes, § 5: Conjectures and Unsolved Problems », sur Prime Pages

Arithmétique et théorie des nombres