Négligeabilité

En analyse mathématique, la prépondérance ou négligeabilité relie deux fonctions à valeurs dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$, formalisant la notion que l'une devient insignifiante devant l'autre au voisinage d'un point ou de l'infini.

Par exemple, avec $f:x\mapsto x^{2}$ et $g:x\mapsto 3x$, quand $x\rightarrow \pm \infty$, $3x$ devient arbitrairement petit devant $x^{2}$. On dit alors que $g$ est négligeable devant $f$ ou que $f$ est prépondérante devant $g$ au voisinage de l'infini, ce que l'on note $g\ {\underset {\infty }{=}}\ o(f).$

Avec la domination et l'équivalence, la négligeabilité est une relation de comparaison. Elle est transitive, mais n'est ni réflexive, ni symétrique.

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur une partie $I$ de $\mathbb {R}$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$, et soit $a$ un point adhérent à $I$ ($a$ peut être un réel, $+\infty$ ou $-\infty$).

On dit que $f$ est négligeable devant $g$, ou que $g$ est prépondérante devant $f$ au voisinage de $a$ si il existe une fonction $\varepsilon$ et un voisinage $V$ de $a$ tels que :

$\varepsilon \ {\underset {a}{\rightarrow }}\ 0$, et $f=\varepsilon g\$ sur $V\cap I$

Ce qui est équivalent à  :

• si $a\in \mathbb {R}$ : $\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|$
• si $a=+\infty$ : $\forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left[A,+\infty \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|$
• si $a=-\infty$ : $\forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left]-\infty ,A\right]\cap I\ \quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|$

Une autre caractérisation plus commode dans le cas où $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ est :

$f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$ si :

$\lim _{x\rightarrow a}\ \ {f(x) \over g(x)}=0$

On écrit alors $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$, qui se lit « $f$ est un petit $o$ de $g$ au voisinage de $a$ ». C'est une des notations de Landau.

Dans le cas où $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ mais s’annule en $a$, f est négligeable devant g au voisinage de $a$ si :

$\lim _{\underset {x\neq a}{x\to a}}{\dfrac {f(x)}{g(x)}}=0$ et si $f(a)=0$

Propriétés

• Si $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ alors $f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$.
• Si $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1})$ et $f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})$ alors $f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1}g_{2})$,

  en particulier, si $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $f_{2}$ est bornée au voisinage de a, alors $f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$.

• Si $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)$, ou si $f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)$ et $g\,{\underset {a}{=}}\,o(h)$, alors $f\,{\underset {a}{=}}\,o(h)$

  en particulier, $\,{\underset {a}{=}}\,o$ est transitive.

• $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Leftrightarrow f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\Leftrightarrow f\,{\underset {a}{=}}\,g+o(g)$.

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle

Échelle de comparaison

Une échelle de comparaison $E_{a}$ est une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a), non équivalentes à 0 en a, telle que :

$\forall (f,g)\in {E_{a}}^{2}\quad f\neq g\Rightarrow \left(f\,{\underset {a}{=}}\,o(g){\text{ ou }}g\,{\underset {a}{=}}\,o(f)\right)$.

Définition

Soient f une fonction définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur $V\setminus \{a\}$, et $E_{a}$ une échelle de comparaison en a.

On dit que f admet la fonction $g\in E_{a}$ comme partie principale par rapport à l'échelle $E_{a}$ s'il existe un réel A non nul tel que $f\,{\underset {a}{\sim }}\,Ag$ (ou $f\,{\underset {a}{=}}\,Ag+o(g)$).

Propriétés

• Unicité en cas d'existence
• Soient $f_{1}$ et $f_{2}$ admettant respectivement $g_{1}$ et $g_{2}$ comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$.

1. La partie principale de $f_{1}f_{2}$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$ est la même que celle de $g_{1}g_{2}$.
2. Si $g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})$ alors $g_{2}$ est la partie principale de $f_{1}+f_{2}$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$.
3. Si $g_{1}=g_{2}$ et $A_{1}+A_{2}\neq 0$ alors $(A_{1}+A_{2})g_{1}$ est la partie principale de $f_{1}+f_{2}$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$.

Comparaison pour les suites

Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur $I=\mathbb {N}$, auquel $a=+\infty$ est adhérent.

Par conséquent, une suite $(u_{n})$ de nombres réels est négligeable devant une suite réelle $(v_{n})$ si et seulement si :

il existe une suite $(\varepsilon _{n})$ de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang, $u_{n}=\varepsilon _{n}v_{n}$

ou encore :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad |u_{n}|\leq \varepsilon |v_{n}|$,

ce qui, lorsque $(v_{n})$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à :

$\lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=0$.

On note : $u_{n}=o(v_{n})$.

Voir aussi

• Propriété N de Luzin