Mouvement brownien fractionnaire

Le mouvement brownien fractionnaire (mBf) a été introduit par Kolmogorov en 1940, comme moyen d'engendrer des "spirales" gaussiennes dans des espaces de Hilbert.

En 1968, Mandelbrot et Van Ness l'ont rendu célèbre en l'introduisant dans des modèles financiers, et en étudiant ses propriétés.

Le champ des applications du mBf est immense.

En effet, il sert par exemple à recréer certains paysages naturels, notamment des montagnes, mais également en hydrologie, télécommunications, économie, physique...

Rudiments mathématiques

Définition du mBf

Le mouvement brownien fractionnaire d'exposant de Hurst $\alpha \in (0,1),$ noté $\{B_{\alpha }(t)\}_{t\in \mathbb {R} },$ est l'unique processus gaussien centré, nul en zéro et continu, dont la covariance est donnée par :

$\mathbb {E} (B_{\alpha }(s)B_{\alpha }(t))={\frac {C_{\alpha }}{2}}(|s|^{2\alpha }+|t|^{2\alpha }-|s-t|^{2\alpha }),$

où $C_{\alpha }={\rm {{Var}(B_{\alpha }(1))}}$ est une constante positive qui ne dépend que de $\alpha$, elle s'appelle indice de Hurst.

Lorsque $C_{\alpha }=1$, nous obtenons le mBf standard.

Le mBf est l'une des généralisations les plus naturelles du mouvement brownien.

En effet, lorsque :

1. $\alpha >1/2$, $B_{\alpha }$ est une primitive fractionnaire du mouvement brownien.
2. $\alpha <1/2$, il est une dérivée fractionnaire du mouvement brownien.
3. $B_{1/2}$ se réduit à un mouvement brownien.

Deux représentations équivalentes du mBf

Représentation par moyenne mobile, du mBf

Dans les travaux de Mandelbrot et Van Ness (1968), le mouvement brownien fractionnaire est défini, à une constante multiplicative près, par l'intégrale de Wiener suivante :

$B_{\alpha }(t){\mathrel {:=}}\int _{\mathbb {R} }\left[(t-s)_{+}^{\alpha -1/2}-(-s)_{+}^{\alpha -1/2}\right]\mathrm {d} B(s),$

où $x_{+}=\max\{x,0\}$ et $dB$ est un bruit blanc réel.

Représentation harmonisable du mBf

Samorodnitsky et Taqqu (1994) ont montré que le mouvement brownien fractionnaire $B_{\alpha }(s)$ peut être représenté par l'intégrale stochastique suivante :

$B_{\alpha }(s):=\int _{\mathbb {R} }{\frac {e^{is\xi }-1}{|\xi |^{\alpha +1/2}}}{\widehat {\rm {dB}}}(\xi ).$

ou bien

$B_{\alpha }(s):=\int _{\mathbb {R} }{\frac {e^{is\xi }-1}{i\xi |\xi |^{\alpha -1/2}}}{\widehat {\rm {dB}}}(\xi ).$

${\widehat {\rm {dB}}}$ est la transformée de Fourier, du bruit blanc ${\rm {dB}}$ à valeurs réelles :

pour tout $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$,

$\int _{\mathbb {R} }f(s){\rm {{dB}(s)=\int _{\mathbb {R} }{\hat {f}}(\xi ){\widehat {\rm {dB}}}(\xi ).}}$

Propriétés principales du mBf

• Auto-similarité du mBf

Le mBf de paramètre de Hurst $\alpha$ est un processus $\alpha$-auto similaire :

ce qui signifie que

$\forall a>0,\{B_{\alpha }(at)\}_{t\in \mathbb {R} }{\stackrel {loi}{=}}\{a^{\alpha }B_{\alpha }(t)\}_{t\in \mathbb {R} }.$

• A accroissements stationnaires

Le mBf est un processus à accroissements stationnaires :

c'est-à-dire

$\forall s\in \mathbb {R} ,\lbrace B_{\alpha }(t+s)-B_{\alpha }(s)\rbrace _{t\in \mathbb {R} }{\stackrel {loi}{=}}\lbrace B_{\alpha }(t)-B_{\alpha }(0)\rbrace _{t\in \mathbb {R} }.$

• Longue dépendance

Lorsque $\alpha >1/2$, le mBf possède la propriété de longue dépendance.

Cette propriété est décrite de la manière suivante :

$\forall j\in \mathbb {Z} ,Z_{\alpha }(j)=B_{\alpha }(j+1)-B_{\alpha }(j);$

ensuite, posons :

$\forall (i,j)\in \mathbb {Z} ^{2},\Gamma (i-j)=\mathbb {E} {\Big \{}Z_{\alpha }(i)Z_{\alpha }(j){\Big \}},$

alors :

$\sum _{p\in \mathbb {Z} }{\Big |}\Gamma (p){\Big |}=+\infty$.

Cela signifie que les valeurs du mBf entre deux temps espacés ont une petite corrélation, mais non négligeable (non sommable!).

• Continuité

Le mBf est un processus admettant des trajectoires continues, nulle part dérivables.

Régularité höldérienne du mBf

L'objectif de cette section est de donner les éléments qui permettent de connaître plus précisément la régularité du mBf.

Pour cela, on introduit la quantité suivante :

Exposant de Hölder uniforme

Soient $\lbrace Y(t)\rbrace _{t\in \mathbb {R} }$, un processus stochastique possédant des trajectoires continues, nulle part dérivables ; et $[a,b]$, un intervalle compact de $\mathbb {R} .$.

On définit l'exposant de Hölder uniforme de $Y$ sur $[a,b],$ noté (EHU), par

$h_{Y}([a,b])=\sup \left\{h\geq 0:\sup _{x_{1},x_{2}\in [a,b]}{\frac {|Y(x_{1})-Y(x_{2})|}{|x_{1}-x_{2}|^{h}}}<+\infty \right\}.$

Cet exposant vérifie la propriété suivante : sur tout intervalle compact $[a,b]\subset \mathbb {R}$, avec probabilité 1 $0\leq h_{Y}([a,b])\leq 1.$

Interprétation :

plus cet exposant, $h_{Y}([a,b])$, est proche de 1, plus le processus est régulier sur le segment $[a,b].$

Dans le cas du mBf, $B_{\alpha },$ l'exposant de Hölder uniforme $h_{B_{\alpha }}$, vérifie, avec probabilité 1, pour tout $[a,b]\subset \mathbb {R}$,

$h_{B_{\alpha }}([a,b])=\alpha .$

Les graphes suivants montrent que la régularité uniforme du mBf peut être prescrite via son paramètre de Hurst $\alpha$.

Estimation de l'exposant de Hölder uniforme du mBf

Dans cette section, nous introduisons un estimateur de l'exposant de Hölder uniforme $\alpha$ du mBf $B_{\alpha }$, à partir des observations d'une trajectoire discrétisée sur l'intervalle $[0,1]$. Plus précisément, soit $N\in \mathbb {N}$, supposons que nous observons le mBf standard $B_{H}(i/N),i=0,\ldots ,N$.

Idée

Pour un mBf standard, nous avons pour tous $s,t\in \mathbb {R}$,

$\mathbb {E} {\Big (}|B_{\alpha }(t)-B_{\alpha }(s)|^{2}{\Big )}=|t-s|^{2\alpha }.$

Il résulte du théorème ergodique, et de la continuité de trajectoire du mBf, que :

${\frac {\sum _{i=0}^{N-1}{\Big (}B_{\alpha }({\frac {i+1}{N}})-B_{\alpha }({\frac {i}{N}}){\Big )}^{2}}{N^{1-2\alpha }}}{\xrightarrow[{N\rightarrow +\infty }]{p.s.}}1.$

Construction de l'estimateur

Notons par

$V_{N}:=\sum _{i=0}^{N-1}{\Big (}B_{\alpha }({\frac {i+1}{N}})-B_{\alpha }({\frac {i}{N}}){\Big )}^{2},$

alors

${\hat {\alpha }}_{N}:={\frac {1}{2}}{\Big (}1-{\frac {\log(V_{N})}{\log(N)}}{\Big )}$

est un estimateur fortement consistant de $\alpha$ :

nous avons

${\hat {\alpha }}_{N}{\xrightarrow[{N\rightarrow +\infty }]{p.s.}}\alpha .$

Voir aussi

Bibliographie

• Benassi, Albert and Cohen, Serge and Istas, Jacques, Identification and properties of real harmonizable fractional Lévy motions, Bernoulli, 8, 1, 97-115, 2002.
• Doukhan, Paul (ed.) and Oppenheim, George (ed.) and Taqqu, Murad S.(ed.), Theory and applications of long-range dependence., Boston, Birkhäuser. x, 2003.
• Embrechts, Paul and Maejima, Makoto, Selfsimilar processes, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2002.
• A. N. Kolmogorov, The Wiener spiral and some other interesting curves in Hilbert space, Dokl. Akad. Nauk SSSR. 26:2 (1940), 115–118. (Russian)
• Mandelbrot, B.B. and Van Ness, J.W., Fractional Brownian motions, fractional noises and applications., SIAM Rev., 10, 422-437, 1968.
• Samorodnitsky, Gennady and Taqqu, Murad S., Stable non-Gaussian random processes : stochastic models with infinite variance., Stochastic Modeling. New York, NY: Chapman & Hall., 1994.