Matrice élémentaire

Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité.

Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes :

• permuter deux lignes entre elles ;
• ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ;
• multiplier une ligne par un scalaire non nul.

Exemples

Opération effectuée sur la matrice identité I3		type de matrice
échanger lignes 1 et 2	${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$	matrice de permutation
multiplier ligne n°3 par 5	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&5\\\end{pmatrix}}$	matrice de dilatation
ajouter 5×ligne n°2 à la ligne n°3	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&5&1\\\end{pmatrix}}$	matrice de transvection

Propriétés

Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire.

Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A (on retrouve ainsi que toute matrice élémentaire est inversible : son inverse correspond à l'opération élémentaire inverse).

En notant M la matrice élémentaire associée à une certaine opération élémentaire sur les lignes, effectuer sur A l'opération élémentaire correspondante sur les colonnes revient à multiplier A à droite par la transposée de M.

Remarque

Le premier type d'opérations élémentaires (permutation de deux lignes ou colonnes) est en fait superflu car il peut s'obtenir à partir des deux autres. En effet,

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}.$

Articles connexes

• Générateurs de GL_n et SL_n
• Lemme de Whitehead
• Groupe de Steinberg (K-théorie)