Loi infiniment divisible

En probabilités, une loi infiniment divisible est une propriété de certaines lois de probabilités, étendant la définition des lois stables.

Définition

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Pour n un entier non nul, une loi de probabilités   est dite n-divisible si et seulement si, pour n variables aléatoires  , iid et de même loi  , la variable   suit la même loi  .

Une loi est dite infiniment divisible si et seulement si elle est n-stable pour tout n > 0.

De manière équivalente, une loi de fonction caractéristique φ est infiniment divisible si et seulement si, pour tout n > 0, φn est une fonction caractéristique.

Exemples

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Les lois normale, de Poisson, exponentielle, gamma, géométrique, binomiale négative, de Cauchy, du χ² non centrée, de Pareto, de Gumbel, de demi-Cauchy sont des lois infiniment divisibles.

Processus de Lévy

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Les lois des accroissements d'un processus de Lévy sont infiniment divisibles, les accroissements de longueur t étant la somme de n accroissements de longueur t/n qui sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) par hypothèse.

Références

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  • (en) Ken-Iti Sato, Indefinitely divisible laws and Lévy processes, vol. 68, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », .
  • (en) P. Billingsley, Convergence of probability measures, coll. « Wiley series in Probability and Mathematical Statistics », .
  • (en) Kai Lai Chung, A Course in probability theory, Harcourt, Brace and World,