Loi infiniment divisible
En probabilités, une loi infiniment divisible est une propriété de certaines lois de probabilités, étendant la définition des lois stables.
Définition
modifierPour n un entier non nul, une loi de probabilités est dite n-divisible si et seulement si, pour n variables aléatoires , iid et de même loi , la variable suit la même loi .
Une loi est dite infiniment divisible si et seulement si elle est n-stable pour tout n > 0.
De manière équivalente, une loi de fonction caractéristique φ est infiniment divisible si et seulement si, pour tout n > 0, φn est une fonction caractéristique.
Exemples
modifierLes lois normale, de Poisson, exponentielle, gamma, géométrique, binomiale négative, de Cauchy, du χ² non centrée, de Pareto, de Gumbel, de demi-Cauchy sont des lois infiniment divisibles.
Processus de Lévy
modifierLes lois des accroissements d'un processus de Lévy sont infiniment divisibles, les accroissements de longueur t étant la somme de n accroissements de longueur t/n qui sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) par hypothèse.
Références
modifier- (en) Ken-Iti Sato, Indefinitely divisible laws and Lévy processes, vol. 68, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », .
- (en) P. Billingsley, Convergence of probability measures, coll. « Wiley series in Probability and Mathematical Statistics », .
- (en) Kai Lai Chung, A Course in probability theory, Harcourt, Brace and World,