Liste de critères de divisibilité

Ceci est une liste de critères de divisibilité pour des nombres écrits en base décimale, premiers ou puissances de nombre premier, inférieurs à $100$.

Ces critères sont exposés sans démonstration. Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article « Critère de divisibilité ».

Pour la divisibilité par un nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers $n=p_{1}^{k_{1}}\ldots p_{r}^{k_{r}}$, il suffit d'appliquer la règle générale : un nombre est divisible par $n$ si et seulement s'il est divisible par chacun des $p_{i}^{k_{i}}$. Par exemple : un nombre est divisible par $12$ seulement s'il est divisible par $3$ et par $4$.

Dans tout cet article, un entier naturel de $n+1$ chiffres est représenté par ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$, où $a_{0}$ est le chiffre des unités, $a_{1}$ des dizaines, $a_{2}$ des centaines, etc.

Critère de divisibilité par 2, 5 ou 10 élevés à une puissance n

Tout nombre entier est divisible par $1$.

Critère de divisibilité par 2ⁿ

Un nombre est divisible par $2^{n}$ si et seulement si ses $n$ derniers chiffres forment un nombre divisible par $2^{n}$.

Exemples

Un nombre est divisible par $16=2^{4}$ si et seulement si le nombre formé par ses $4$ derniers chiffres est divisible par $16$.

Un nombre est divisible par $32=2^{5}$ si et seulement si le nombre formé par ses $5$ derniers chiffres est divisible par $32$.

Application : $87\ 753\ 216\ 864$ est divisible par $32$ car $16\ 864$ est divisible par $32$.

Critère de divisibilité par 5ⁿ

Un nombre est divisible par $5^{n}$ si et seulement si ses $n$ derniers chiffres forment un nombre divisible par $5^{n}$.

Exemples

Un nombre est divisible par $25=5^{2}$ si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $25$, c'est-à-dire si son écriture « se termine » par $00$, $25$, $50$ ou $75$.

Application : $258\ 975$ est divisible par $25$ car il se termine par $75$.

$257\ 543\ {\textbf {625}}$ est divisible par $5^{3}=125$ car $625$ est divisible par $125$.

Critère de divisibilité par 10ⁿ

Pour $n$ non nul, un nombre est divisible par 10ⁿ si et seulement si ses $n$ derniers chiffres sont égaux à $0$.

Exemple

$652\ 500\ 000$ est divisible par $10^{5}$ car ses $5$ derniers chiffres sont des $0$.

$65\ 250$ est divisible par $10^{1}$ car son dernier chiffre est un $0$.

Entiers inférieurs à 10

Divisibilité par :	Énoncé du critère :	Exemple :
2	Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2 = 21, si et seulement si son chiffre des unités est $0,2,4,6$ ou $8$.	$168$ est pair car il se termine par $8$ qui est pair.
3	Un nombre est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$. (Par récurrence, cela implique que son résidu est $3,6$ ou $9$.)	$168$ est divisible par $3$ car $1+6+8=15$, $1+5=6$ et $6$ est divisible par $3$.
4	Un nombre est divisible par 4 = 22 si et seulement si $2a_{1}+a_{0}$ est divisible par $4$.	$2\ 548$ est divisible par $4$ car $2\times 4+8=16$ qui est divisible par $4$.
5	Un nombre est divisible par 5 = 51 si et seulement si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.	$235$ est divisible par $5$ car il se termine par $5$.
6	Un nombre est divisible par $6$ si et seulement s'il est divisible par $2$ et par $3$.	$168$ est divisible par $6$, car il est pair et divisible par $3$.
7	${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $7$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}-2a_{0}$ l'est (pour d'autres critères, voir section suivante).	$182$ est divisible par $7$ car $18-2\times 2=14$ l'est.
8	Un nombre est divisible par 8 = 23 si et seulement si $4a_{2}+2a_{1}+a_{0}$ est divisible par $8$.	$636\ 136$ est divisible par $8$ car $4\times 1+2\times 3+6=16$ qui est divisible par $8$.
9	Un nombre est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.	$423$ est divisible par $9$ car $4+2+3=9$ l'est.
10	Un nombre est divisible par 10 = 101 si et seulement si son chiffre des unités est $0$.	$270$ est divisible par $10$ car il se termine par $0$.

Critères de divisibilité par 7

Lemmes de divisibilité par 7

Première méthode : Un nombre est divisible par $7$ si et seulement si la somme de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $56\ (=7\times 8)$. Le nombre est divisible par $7$ si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple

$17\ 381$ est divisible par $7$ car

$1738+5\times 1=1743$,

$174+5\times 3=189$,

$18+5\times 9=63$ et

$6+5\times 3=21$.

Deuxième méthode : Un nombre est divisible par $7$ si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités l'est. Si cette différence est négative, on peut la remplacer par sa valeur absolue. En répétant cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $14$, le nombre de départ est divisible par $7$ si et seulement si le résultat final est $0$ ou $7$.

Exemple

$17\ 381$ est divisible par $7$ car

$1738-2\times 1=1736$,

$173-2\times 6=161$,

$16-2\times 1=14$ et

$|1-2\times 4|=7$.

Critère pour un grand nombre

Une méthode, basée seulement sur le fait que $10^{3}$ est congru à –1 modulo 7, est de séparer ce nombre par tranches de $3$ chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des $-$ et des $+$ entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par $7$ si et seulement si le nombre de départ l'était.

Exemple

Soit le nombre $5\ 527\ 579\ 818\ 992$.

On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités :

$5\mid 527\mid 579\mid 818\mid 992$.

On intercale alternativement des $-$ et des $+$ :

$5-527+579-818+992$.

On effectue l'opération ainsi écrite :

$5-527+579-818+992=231$.

On regarde si $231$ est divisible à l'aide du lemme de divisibilité par $7$ :

$23+5\times 1=28$ est divisible par $7$ donc $5\ 527\ 579\ 818\ 992$ l'est.

Comme $1001$ est le produit de $7,11$ et $13$, la même méthode s'applique pour 11 et 13.

Méthode de Toja

Cette méthode est basée sur le fait que $10^{3}$ est congru à $-1$ modulo $7$, dont on déduit que

${\rm {si}}\quad x=100^{m}b_{m}+\ldots +100^{2}b_{2}+100b_{1}+b_{0}\quad {\rm {et}}\quad y=10^{m}b_{0}-10^{m-1}b_{1}+10^{m-2}b_{2}\ldots +(-1)^{m}b_{m}$${\rm {alors}}\quad 10^{m}x\equiv y{\pmod {7}}$

donc $x$ est divisible par $7$ si et seulement si $y$ l'est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque $b_{i}$ par n'importe quel entier qui lui est congru modulo $7$. Le principe est donc de découper le nombre $x$ par tranches de $2$ chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de $2$ chiffres et le multiple de $7$ le plus proche (alternativement par excès et par défaut).

Exemple

Soit le nombre $5\ 527\ 579\ 818\ 992$.

On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités :

$5\mid 52\mid 75\mid 79\mid 81\mid 89\mid 92$.

• À partir de la droite, le multiple de $7$ le plus proche par défaut est $91$ : distance $92-91=1$.
• Pour la deuxième paire, le multiple de $7$ le plus proche par excès est $91$ : distance $91-89=2$.
• Pour la troisième paire, le multiple de $7$ le plus proche par défaut est 77 : distance $81-77=4$.
• Pour la quatrième paire, distance : $84-79=5$, etc.

Le nombre de départ est multiple de $7$ si et seulement si

$1\mid 2\mid 4\mid 5\mid 5\mid 4\mid 5$

est multiple de $7$ (les différents « restes » sont écrits dans l'ordre inverse).

On trouve de même que la divisibilité par $7$ de $1\ 245\ 545$ équivaut à celle de $3\ 136$, puis de $14$, donc $5\ 527\ 579\ 818\ 992$ est divisible par $7$.

Méthode rapide

Comme dans le calcul du nombre modulo $7$ par la méthode de Toja, on va regrouper les chiffres par groupe de $2$, en partant de la droite. Ici on va utiliser le fait que $100$ vaut $2$ modulo $7$.

La première étape, valable d'ailleurs pour toutes les méthodes, consiste à remplacer tous les chiffres par leur valeur modulo $7$. Autrement dit à remplacer le $7$ par $0$, le $8$ par $1$, le $9$ par $2$.

Soit le nombre $5\ 527\ 579\ 818\ 992$.

On le remplace par $5\ 520\ 502\ 111\ 222$.

Dans la deuxième étape on regroupe les chiffres par $2$ pour créer des nombres de $0$ à $66$.

$5\mid 52\mid 05\mid 02\mid 11\mid 12\mid 22$.

On les calcule modulo $7$

$5\mid 3\mid 5\mid 2\mid 4\mid 5\mid 1$.

C'est l'écriture du nombre base $2$, avec des chiffres de $0$ à $6$. On va utiliser la méthode de Horner : on dépile le chiffre le plus à gauche que l'on ajoute au nombre en cours ($0$ au départ) et on multiplie par $2$.

$5\cdot 2+3\rightarrow 3+3\rightarrow 6$

$6\cdot 2+5\rightarrow 5+5\rightarrow 10\rightarrow 3$

$3\cdot 2+2\rightarrow 8\rightarrow 1$

$1\cdot 2+4\rightarrow 6$

$6\cdot 2+5\rightarrow 5+5\rightarrow 10\rightarrow 3$

$3\cdot 2+1\rightarrow 7\rightarrow 0$

Chaque ligne de calcul se fait aisément de tête, et chaque résultat intermédiaire peut être inscrit sur une seconde ligne :

$5\mid 3\mid 5\mid 2\mid 4\mid 5\mid 1$

$5\mid 6\mid 3\mid 1\mid 6\mid 3\mid 0$

On obtient $0$, le nombre est divisible par $7$.

Utilisation d'un diagramme

Cette technique s'appuie sur l'écriture du nombre en base $10$ et sur les congruences modulo $7$. L'utilisation d'un diagramme est proposée en $2009$ par David Wilson. Sur un cercle, on dispose tous les nombres de $0$ à $6$, c'est-à-dire tous les restes possibles modulo $7$. On relie ensuite par une flèche chaque reste $r$ avec le reste modulo $7$ de $r\times 10$.

Le diagramme s'utilise alors de la manière suivante : pour l'entier ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$, égal à $(\ldots ((a_{n}\times 10+a_{n-1})\times 10+a_{n-2})\times 10+\ldots )\times 10+a_{0}$,

• on se place sur la case $0$ et l'on se déplace sur le cercle de $a_{n}$ cases. On obtient ainsi le reste de a_n modulo $7$ ;
• on emprunte alors la flèche qui part de la case où l'on se trouve et, à partir du point d'arrivée de la flèche, on se déplace sur le cercle de $a_{n-1}$ cases. On obtient ainsi le reste de $a_{n}\times 10+a_{n-1}$ modulo $7$ ;
• on recommence alors le processus (emprunt d'une flèche, puis déplacement sur le cercle) jusqu'à $a_{0}$. On obtient alors le reste modulo $7$ de $(\ldots ((a_{n}\times 10+a_{n-1})\times 10+a_{n-2})\times 10+\ldots )\times 10+a_{0}$.

Le nombre est divisible par $7$ si et seulement si la case d'arrivée est la case $0$.

Diagramme de divisibilité par $7$.

Exemple

Pour le nombre $17\ 381$.

• On passe de $0$ à $1$.
• On emprunte la flèche qui mène de $1$ à $3$ et l'on se déplace de $7$ cases (i. e. on reste sur place). On se trouve en $3$.
• On emprunte la flèche qui mène de $3$ à $2$ et l'on se déplace de $3$ cases. On se trouve en $5$.
• On emprunte la flèche qui mène de $5$ à $1$ et l'on se déplace de $8$ cases (i. e. on se déplace d'une case). On se trouve en $2$.
• On emprunte la flèche qui mène de $2$ à $6$ et l'on se déplace d'une case. On se trouve en $0$. Le nombre est bien divisible par $7$.

Remarque : cette méthode peut se généraliser à toute autre divisibilité par $d$ et à toute autre base $b$ en construisant le diagramme adapté (les nombres de $0$ à $d-1$ sur le cercle, des flèches reliant $r$ au reste modulo $d$ de $r\times b$).

Critère de divisibilité par 11

Première méthode

Pour déterminer si un nombre $N$ est divisible par $11$ :

• on calcule la somme $A$ des chiffres en position impaire ;
• on calcule la somme $B$ des chiffres en position paire ;

$N$ est divisible par $11$ si et seulement si la différence $A-B$ (ou $B-A$) est divisible par $11$.

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

Exemple

Considérons le nombre $19\ 382$.

$A=1+3+2=6$

$B=9+8=17$

$B-A=17-6=11$ est divisible par $11$ donc $19\ 382$ l'est aussi.

On peut également effectuer le calcul : $1-9+3-8+2=-11$.

« Mini-critère »

Un nombre de trois chiffres est divisible par $11$ si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu ($a_{2}+a_{0}=a_{1}$) ou à $11$ plus le chiffre du milieu ($a_{2}+a_{0}=11+a_{1}$).

Exemples

$374$ est divisible par $11$ parce que $3+4=7$. Vérification : $374=11\times 34$.

825 est divisible par $11$ parce que $8+5=11+2$. Vérification : $825=11\times 75$.

Deuxième méthode

On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des $+$ et l'on effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par $11$ si et seulement si le nombre de départ l'était.

Exemple

Reprenons l'exemple précédent $19\ 382$ ; on obtient :

$1+93+82=176$.

Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :

$1+76=77$.

$77$ est divisible par $11$ donc $19\ 382$ l'est aussi.

Troisième méthode

Un nombre est divisible par $11$ si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par $11$.

Exemples

$3432$ est divisible par $11$ car $343-2=341$, $34-1=33$ et $33$ est divisible par $11$.

$73108$ n'est pas divisible par $11$ car $7310-8=7302$, $730-2=728$, $72-8=64$ et $64$ n'est pas un multiple de $11$.

Démonstration

Soit $n$ un entier naturel alors $n$ s'écrit de manière unique $n=10a+b$ où $a$ est le nombre de dizaines et $b$ le chiffre des unités.

$n=11a+b-a$ et donc $n$ congru à $0$ modulo $11$ est équivalent à $b-a$ congru à $0$ modulo $11$.

Critère de divisibilité par 13

Le critère de divisibilité par 13

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $13$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+4a_{0}$ l'est. Pour voir si un nombre est divisible par $13$, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $52$ ($=4\times 13$). Le nombre de départ est divisible par $13$ si et seulement si le résultat final est $13,26$ ou $39$.

Exemples

• $312$ est divisible par $13$ car $31+4\times 2=39$.
• $1\ 664$ est divisible par $13$ car $166+4\times 4=182$ et $18+4\times 2=26$.

Critère pour un grand nombre

Pour savoir si un grand nombre est divisible par $13$, il suffit, puisque $10^{3}$ est congru à $-1$ modulo $13$ comme modulo $7$, d'appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de $3$ chiffres en partant des unités et insérer alternativement des $-$ et des $+$ entre les tranches.

On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par $13$ si et seulement si le grand nombre considéré l'était.

Exemple

Soit le nombre $1\ 633\ 123\ 612\ 311\ 854$.

On le sépare par tranches de trois à partir des unités :

$1\mid 633\mid 123\mid 612\mid 311\mid 854$.

On intercale alternativement des $-$ et des $+$ :

$1-633+123-612+311-854$.

On effectue l'opération ainsi écrite :

$1-633+123-612+311-854=-1664$.

Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue $1\ 664$ et continuer.

D'après l'exemple précédent, $1\ 664$ est divisible par $13$ donc $1\ 633\ 123\ 612\ 311\ 854$ l'est aussi.

Critère de divisibilité par 15

Un nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $15$ si et seulement si $a_{0}+10\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ (ou sa valeur absolue) l'est. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que $10^{k}\equiv 10[15]$ et ce pour tout $k\in \mathbb {N} ^{*}$ ce qui se démontre bien par récurrence. Si le nombre résultant du calcul est trop grand, il suffit de répéter l'opération.

Exemples

• $35\ 910$ est divisible par $15$ car $0+10\times (1+9+5+3)=180$ est divisible par $15$.
• $23\ 904\ 720$ n'est pas divisible par $15$ car $0+10\times (2+7+4+0+9+3+2)=270$ n'est pas divisible par $15$.

Critère de divisibilité par 17

Un nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $17$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}-5a_{0}$ (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par $17$, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $51$ ($=3\times 17$). Le nombre de départ est divisible par $17$ si et seulement si le résultat final est $0,17$ ou $34$.

Exemples

• $3\ 723$ est divisible par $17$ car $372-5\times 3=357$ et $35-5\times 7=0$.
• $5\ 933$ est divisible par $17$ car $593-5\times 3=578$ et $57-5\times 8=17$.

Critère de divisibilité par 19

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $19$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+2a_{0}$ l'est. Pour voir si un nombre est divisible par $19$, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $38$ ($=2\times 19$). Le nombre de départ est divisible par $19$ si et seulement si le résultat final est $19$.

Exemple

$6\ 859$ est divisible par $19$ car $685+2\times 9=703$, $70+2\times 3=76$ et $7+2\times 6=19$.

Critère de divisibilité par 21

Critère immédiat

Un nombre est divisible par $21$ si et seulement s'il est divisible par 7 et par 3.

Lemme de divisibilité par 21

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $21$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}-2a_{0}$ (ou sa valeur absolue) l'est. Cette transformation est la même que la première indiquée pour la divisibilité par $7$ (§ « Entiers inférieurs à 10 »). Pour voir si un nombre est divisible par $21$, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $21$. Le nombre de départ est divisible par $21$ si et seulement si le résultat final est $0$.

Exemple

$5\ 271$ est divisible par $21$ car

$527-2\times 1=525$,

$52-2\times 5=42$ et

$4-2\times 2=0$.

Critère pour un grand nombre

Même méthode que plus loin pour 27 mais par tranches de $6$ chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 » ).

Critère de divisibilité par 23

Première méthode

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $23$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+7a_{0}$ l'est. Pour voir si un nombre est divisible par $23$, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $92$ ($=4\times 23$). Le nombre de départ est divisible par $23$ si et seulement si le résultat final est $23,46$ ou $69$.

Exemple

$3\ 151$ est divisible par $23$ car $315+7\times 1=322$ et $32+7\times 2=46$.

Deuxième méthode

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $23$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{2}}}+3{\overline {a_{1}a_{0}}}$ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $322$ ($=23\times 14$). Le nombre est divisible par $23$ si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple

Reprenons l'exemple précédent : $3\ 151$ est divisible par $23$ car $31+3\times 51=184$ et $184=8\times 23$.

Critère de divisibilité par 27

Pour savoir si un nombre est divisible par $27$, on le sépare par tranches de $3$ chiffres à partir des unités en intercalant des $+$. On effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par $27$ si et seulement si le nombre considéré au départ l'était.

Exemple

Soit le nombre $68\ 748\ 098\ 828\ 632\ 988\ 661$.

On effectue l'opération :

$68+748+098+828+632+988+661=4023$.

Le résultat ayant plus de $3$ chiffres, on peut recommencer :

$4+023=24$ qui est divisible par $27$, donc $68\ 748\ 098\ 828\ 632\ 988\ 661$ l'est aussi.

Critère de divisibilité par 29

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $29$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+3a_{0}$ l'est. Pour voir si un nombre est divisible par $29$ il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $58$ ($=2\times 29$). Le nombre de départ est divisible par $29$ si et seulement si le résultat final est $29$.

Exemple

$75\ 168$ est divisible par $29$ car

$7\ 516+3\times 8=7\ 540$,

$754+3\times 0=754$,

$75+3\times 4=87$ et

$8+3\times 7=29$.

Critère de divisibilité par 31

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $31$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}-3a_{0}$ (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par $31$, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $31$. Le nombre de départ est divisible par $31$ si et seulement si le résultat final est $0$.

Exemple

$15\ 996$ est divisible par $31$ car

$1\ 599-3\times 6=1\ 581$,

$158-3\times 1=155$ et

$15-3\times 5=0$.

Critère de divisibilité par 37

Même méthode que pour 27 (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 » ): On découpe le nombre par tranche de trois chiffres et on fait la somme des tranches.

Quand le nombre est un nombre à trois chiffres ${\overline {abc}}$, comme $111$ est un multiple de $37$, on peut retrancher aux trois chiffres le plus petit d'entre eux pour faire apparaître un ou plusieurs zéros sans changer la divisibilité. Si le nombre obtenu contient deux zéros, le nombre de départ n'est pas divisible par $37$; si le nombre obtenu vaut $0$, le nombre de départ est divisible par $37$.

Sinon, le nombre obtenu contient un seul zéro, que l'on enlève pour obtenir un nombre à $2$ chiffres.

• Si le $0$ était en position extrême, le nombre de départ est divisible par $37$ si et seulement si le nombre final vaut $37$ ou $74$
• si le $0$ était en position centrale, le nombre de départ est divisible par $37$ si et seulement si le nombre final vaut $73$ ou $47$.

Exemple

$925$ est divisible par $37$ car

le plus petit chiffre est $2$, on le retranche à chaque chiffre :

$925-222=703$

le $0$ est central, et le nombre final est $73$, donc le nombre initial est divisible par $37$

On peut aussi utiliser le critère général de divisibilité : le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $37$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}-11a_{0}$ l'est. Pour voir si un nombre est divisible par $37$, il suffit de répéter cette transformation. Le nombre de départ est divisible par $37$ si et seulement si le reste est un multiple de $37$

Exemple

$19\ 388$ est divisible par $37$ car

$1\ 938-8\times 11=1\ 850$

$185-0\times 11=185=37\times 5$

Critère de divisibilité par 39

Critère immédiat

Un nombre est divisible par $39$ si et seulement s'il est divisible par 13 et par 3.

Lemme de divisibilité par 39

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $39$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+4a_{0}$ l'est. Cette transformation est la même que celle pour la divisibilité par 13. Pour voir si un nombre est divisible par $39$, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $78$ ($=2\times 39$). Le nombre de départ est divisible par $39$ si et seulement si le résultat final est $39$.

Exemple

$4\ 992$ est divisible par $39$ car

$499+4\times 2=507$,

$50+4\times 7=78$ et

$7+4\times 8=39$

Critère pour un grand nombre

Même méthode que pour 27 mais par tranches de $6$ chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 » ).

Critère de divisibilité par 41

Lemme de divisibilité par 41

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $41$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}-4a_{0}$ (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par $41$, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $41$. Le nombre de départ est divisible par $41$ si et seulement si le résultat final est $0$.

Exemple

$8\ 036$ est divisible par $41$ car

$803-4\times 6=779$,

$77-4\times 9=41$ et

$4-4\times 1=0$.

Critère pour un grand nombre

Même méthode que pour 27 mais par tranches de $5$ chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 »).

Critère de divisibilité par 43

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $43$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{2}}}-3{\overline {a_{1}a_{0}}}$ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $215$ ($=43\times 5$). Le nombre est divisible par $43$ si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple

$173\ 161$ est divisible par $43$ car $1\ 731-3\times 61=1\ 548$ et $|15-48\times 3|=129=43\times 3$.

Critère de divisibilité par 47

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $47$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{2}}}+8{\overline {a_{1}a_{0}}}$ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $846$ ($=47\times 18$). Le nombre est divisible par $47$ si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple

$143\ 597$ n'est pas divisible par $47$ car $1\ 435+8\times 97=2\ 211$ et $22+8\times 11=110=2\times 47+16$.

Critère de divisibilité par 49

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $49$ si et seulement si la somme ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+5a_{0}$ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $98$ ($=2\times 49$). Le nombre est divisible par 49 si et seulement si le résultat final est $49$.

Exemple

$478\ 515\ 625$ est divisible par $49$ car

$47\ 851\ 562+5\times 5=47\ 851\ 587$,

$4\ 785\ 158+5\times 7=4\ 785\ 193$,

$478\ 519+5\times 3=478\ 534$,

$47\ 853+5\times 4=47\ 873$,

$4\ 787+5\times 3=4\ 802$,

$480+5\times 2=490$ et

$49+5\times 0=49$.

Critère de divisibilité par 53

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $53$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{2}}}-9{\overline {a_{1}a_{0}}}$ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $800$. On passe ensuite au second critère de divisibilité : le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $53$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+16a_{0}$ l'est. Il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à $212$ ($=4\times 53$). Le nombre de départ est divisible par $53$ si et seulement si le résultat final est $53,106$ ou $159$.

Exemple

$132\ 023$ est divisible par $53$ car $1\ 320-9\times 23=1\ 113$ et $|11-9\times 13|=106=2\times 53$.

Critère de divisibilité par 59

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $59$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+6a_{0}$ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $118$ ($=2\times 59$). Le nombre est divisible par $59$ si et seulement si le résultat final est $59$.

Exemple

$1\ 185$ n'est pas divisible par $59$ car $118+6\times 5=148$ et $14+6\times 8=62$.

Critère de divisibilité par 61

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $61$ si est seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}-6a_{0}$ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $61$. Le nombre est divisible par $61$ si et seulement si résultat final est $0$.

Exemple

$5\ 623$ n'est pas divisible par $61$ car $562-6\times 3=544$ et $54-6\times 4=30$.

Critère de divisibilité par 67

Un nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $67$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{2}}}-2{\overline {a_{1}a_{0}}}$ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $134$ ($=2\times 67$). Le nombre est divisible par $67$ si et seulement si le résultat final est 0 ou $67$.

Exemple

$135\ 541$ est divisible par $67$ car

$1\ 355-41\times 2=1\ 273$,

$|12-73\times 2|=134$ et

$|1-34\times 2|=67$.

Critère de divisibilité par 71

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $71$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}-7a_{0}$ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $71$. Le nombre est divisible par $71$ si et seulement si le résultat final est $0$.

Exemple : $27\ 253$ n'est pas divisible par $71$ car

$2\ 725-7\times 3=2\ 704$,

$270-7\times 4=242$ et

$24-7\times 2=10$.

Critère de divisibilité par 73

Même méthode que pour 13 mais par tranches de $4$ chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 » ).

Critère de divisibilité par 79

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $79$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+8a_{0}$ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $158$ ($=2\times 79$). Le nombre est divisible par 79 si et seulement si le résultat final est $79$.

Exemple

$21\ 804$ est divisible par $79$ car

$2\ 180+8\times 4=2\ 212$,

$221+8\times 2=237$ et

$23+8\times 7=79$.

Critère de divisibilité par 83

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $83$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+25a_{0}$ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $332$ ($=83\times 4$). Le nombre est divisible par $83$ si et seulement si le résultat final est $83,166$ ou $249$.

Exemple

$11\ 537$ est divisible par $83$ car $1\ 153+7\times 25=1\ 328$ et $132+8\times 25=332$ et $33+2\times 25=83$.

Critère de divisibilité par 89

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $89$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}+9a_{0}$ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $178$ ($=89\times 2$). Le nombre est divisible par $89$ si et seulement si le résultat final est $89$.

Exemple : $7\ 921$ est divisible par $89$ car $792+9\times 1=801$ et $80+9\times 1=89$.

Critère de divisibilité par 97

Le nombre ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $97$ si et seulement si ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}}}-29a_{0}$(ou sa valeur absolue) l'est . On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à $291$ ($=3\times 97$). Le nombre est divisible par $97$ si et seulement si le résultat final est $0,97$ ou $194$.

Exemple

$46\ 657$ est divisible par $97$ car

$4\ 665-29\times 7=4\ 462$,

$446-29\times 2=388$ et

$|38-29\times 8|=194$.

Méthode du ruban de Pascal

Cette méthode (voir l'article détaillé) permet de tester la divisibilité d'un nombre $N$, généralement écrit en base dix, par n'importe quel entier $d$. Le principe est de remplacer, dans le nombre $N=10^{n}a_{n}+\ldots +10a_{1}+a_{0}$, chaque puissance de $10$ par son reste $r$ dans la division euclidienne par $d$ (on peut aussi prendre $r-d$ au lieu de $r$).

Exemples

• Pour $d=7$, on peut remplacer $1,10,100$, etc. par $1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,-3,-2$, etc. (suite périodique) : on dit qu'une clé de divisibilité par $7$ en base dix est ($1,3,2,-1,-3,-2$). Le nombre $N={\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $7$ si et seulement si le nombre suivant l'est :
  $a_{0}+3a_{1}+2a_{2}-a_{3}-3a_{4}-2a_{5}+a_{6}+3a_{7}+2a_{8}-a_{9}\ldots =A+3B+2C$, avec
  $A=a_{0}-a_{3}+a_{6}-a_{9}\ldots ,B=a_{1}-a_{4}+a_{7}-a_{10}\ldots$ et $C=a_{2}-a_{5}+a_{8}-a_{11}\ldots$
• Pour $d=13$, une clé de divisibilité en base dix est ($1,-3,-4,-1,3,4$) donc ${\overline {a_{n}\ldots a_{1}a_{0}}}$ est divisible par $13$ si et seulement si le nombre suivant l'est :
  $a_{0}-3a_{1}-4a_{2}-a_{3}+3a_{4}+4a_{5}+a_{6}-3a_{7}-4a_{8}-a_{9}\ldots =A-3B-4C$, avec
  $A=a_{0}-a_{3}+a_{6}-a_{9}\ldots ,B=a_{1}-a_{4}+a_{7}-a_{10}\ldots$ et $C=a_{2}-a_{5}+a_{8}-a_{11}\ldots$

Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1

Dans la méthode du ruban, pour certains $d$, la clé de divisibilité est plus simple lorsqu'on considère $N$ comme écrit en base $10^{n}$ pour un $n$ bien choisi. En particulier, la clé de divisibilité en base $10^{n}$ sera ($1,-1$) si $d$ est un diviseur de $10^{n}+1$, et elle sera simplement ($1$) si $d$ est un diviseur de $10^{n}-1$. On en a vu des exemples pour la divisibilité par $11$ (facteur de $10^{1}+1$ et de $10^{2}-1$) et (pour un « grand » nombre) par $7$ ou $13$ (facteurs de $10^{3}+1$) ou par $27$ (facteur de $10^{3}-1$). En résumé :

• Si $d$ est un diviseur de $10^{n}+1$, pour savoir si un grand nombre est divisible par $d$, il suffit de séparer ce nombre par tranches de $n$ chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des $-$ et des $+$ entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par $d$ si et seulement si le nombre considéré au départ l'était. On répète cette transformation autant que faire se peut.

  Exemples

Somme alternée de tranches

Divisibilité par	11	101	7	13	77	91	143	73	137	17	19	133	23	121
Tranches de taille	1	2	3					4		8	9		11

• Si $d$ est un diviseur de $10^{n}-1$ (ce qui est vrai pour n'importe quel $n$ si $d=3$ ou $9$), même principe mais en n'insérant que des $+$ entre les tranches.

  Exemples

Somme simple de tranches

Divisibilité par	11	33	99	27	37	111	41	123	21	39	63	117	81	53	79	31
Tranches de taille	2			3			5		6				9	13		15