Lemniscate de Gerono

La lemniscate de Gerono est une courbe plane, qui a été étudiée par Grégoire de Saint-Vincent en 1647 puis par Gabriel Cramer en 1750.

La lemniscate de Gerono pour a = 1

Équations

Paramétrisation cartésienne :  ${\begin{cases}x=a\,\sin t\\y=a\,\sin t\,\cos t\end{cases}}\quad (\cos t=\tan \theta ),$  où $\theta$ désigne l'angle polaire.

Équation algébrique :  $x^{4}=a^{2}\,(x^{2}-y^{2})$   ou   $a\,y=\pm x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}.$

Équation polaire :  $\rho ^{2}=a^{2}\,{\frac {\cos 2\theta }{\cos ^{4}\theta }},$  où  $\rho$  désigne la distance radiale.

La longueur de la courbe vaut

$s=\left[4{\sqrt[{4}]{2}}\left(E(k)-K(k)\right)+{\frac {(3+2{\sqrt {2}}){\sqrt[{4}]{8}}}{2}}\Pi \left({\frac {4-3{\sqrt {2}}}{8}},k\right)\right]a$

où K, E et Π désignent respectivement les intégrales elliptiques complètes de 1^re, 2^e et 3^e espèce, pour ${\textstyle k={\frac {\sqrt {2+4{\sqrt {2}}}}{4}}.}$

Son aire totale est de  ${\frac {4}{3}}a^{2}.$

La lemniscate de Gerono est un cas particulier de besace.

Voir aussi

Articles connexes

• Lemniscate
• Lemniscate de Bernoulli

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Eight Curve », sur MathWorld
• Lemniscate de Gerono, sur MathCurve