Lemme de Zolotarev

En mathématiques, le lemme de Zolotarev est un résultat d'arithmétique modulaire équivalent au lemme de Gauss et introduit par Yegor Ivanovich Zolotarev en 1872 pour redémontrer la loi de réciprocité quadratique. Il énonce que pour tout nombre premier p > 2 et tout entier a non divisible par p, le symbole de Legendre (a/p) est égal à la signature de la permutation des classes résiduelles modulo p qui multiplie chaque élément par a.

Preuve

Soit α la classe modulo p de l'entier a. La permutation de l'énoncé fixe la classe nulle, et s'identifie sur les classes non nulles à l'action τ_α de α par translation, dans le groupe multiplicatif Z/pZ*. Cette permutation se décompose en (p - 1)/i cycles disjoints, chacun de taille i, où i est l'ordre de α (c'est-à-dire le plus petit entier i > 0 tel que αⁱ = 1). Sa signature vaut donc :

$\varepsilon (\tau _{\alpha })=(-1)^{(i-1){\frac {p-1}{i}}}.$

Pour comparer cette signature avec le symbole de Legendre (a/p), qui d'après le critère d'Euler, est égal à α^{(p - 1)/2}, on discute alors suivant la parité de i :

si i est pair alors $\alpha ^{(p-1)/2}=(\alpha ^{i/2})^{(p-1)/i}=(-1)^{(p-1)/i}=\varepsilon (\tau _{\alpha })$ ;

si i est impair alors $\alpha ^{(p-1)/2}=(\alpha ^{i})^{(p-1)/2i}=1=\varepsilon (\tau _{\alpha })$.

Dans les deux cas, c'est le résultat attendu.

Généralisation

Le théorème de Frobenius-Zolotarev indique que si V est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps fini F_p, alors la signature de tout automorphisme de V (vu comme une permutation de cet espace vectoriel fini) est égale au symbole de Legendre de son déterminant :

$\forall u\in \mathrm {GL} (V),\qquad \varepsilon (u)=\left({\frac {\det(u)}{p}}\right).$

Le lemme de Zolotarev correspond au cas V=F_p et u=la multiplication par a.

Démonstration

Le morphisme de groupes

$\mathrm {GL} (V)\to \mathbf {F} _{p}^{*},\qquad u\mapsto \det(u)$

est surjectif et son noyau, le groupe spécial linéaire SL(V), est le sous-groupe dérivé de GL(V). Par propriété universelle de l'abélianisé, il existe donc un morphisme

$f:\mathbf {F} _{p}^{*}\to \{\pm 1\}$

par lequel le morphisme signature se factorise :

$\forall u\in \mathrm {GL} (V),\quad \varepsilon (u)=f(\det(u)).$

Enfin, ce morphisme f coïncide avec le symbole de Legendre, puisque ce n'est pas le morphisme trivial. En effet, on peut exhiber un automorphisme de V dont la signature est égale à –1 : si V est de dimension n donc isomorphe, en tant qu'espace vectoriel, au corps fini F_q pour q=pⁿ, il suffit de choisir l'automorphisme de multiplication par un générateur du groupe cyclique F_q*. C'est bien une permutation impaire, puisque c'est une permutation circulaire de longueur paire (q–1).