Lemme de Zassenhaus

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En algèbre, le lemme de Zassenhaus, ou lemme du papillon, est un résultat technique sur le treillis des sous-groupes d'un groupe, qui permet de démontrer le lemme de raffinement de Schreier (utile dans le théorème de Jordan-Hölder), selon lequel deux suites de composition d'un groupe donné possèdent toujours un raffinement commun^[1].

Lemme — Soient $G$ un groupe, $A$ et $C$ deux sous-groupes de $G$ , $B$ un sous-groupe normal de $A$ , et $D$ un sous-groupe normal de $C$ . Alors $B(A\cap D)$ est normal dans $B(A\cap C$ ), $(B\cap C)D$ est normal dans $(A\cap C)D$ , et les deux groupes quotients correspondants sont isomorphes. Plus formellement :

(B~\triangleleft ~A\leq G\quad

et

\quad D~\triangleleft ~C\leq G)\quad \Rightarrow \quad B(A\cap C)/B(A\cap D)\simeq (A\cap C)D/(B\cap C)D.

Ce lemme fut publié par Hans Zassenhaus en 1934^[2].

Notes et références

↑ Pour une démonstration, voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.40-41, ou encore J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 227-228, ou encore Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], 3^e édition révisée, Paris, 2004, p. 22-23.
↑ (de) H. Zassenhaus, « Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 10, 1934, p. 187-220, DOI 10.1007/BF02940667. Référence donnée par J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 371.

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[1] Pour une démonstration, voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.40-41, ou encore J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 227-228, ou encore Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], 3^e édition révisée, Paris, 2004, p. 22-23.

[2] (de) H. Zassenhaus, « Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 10, 1934, p. 187-220, DOI 10.1007/BF02940667. Référence donnée par J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 371.

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