K-théorie de Milnor

La K-théorie de Milnor, théorie mathématique introduite par John Milnor, fait partie des premières tentatives pour définir les groupes de K-théorie algébrique d'ordre supérieur.

Définition

Le calcul du K₂ d'un corps F a conduit Milnor à la définition ad hoc suivante des K-groupes d'indices supérieurs par

$K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a)),$

donc comme le quotient (gradué) de l'algèbre tensorielle du groupe abélien F^× par l'idéal bilatère engendré par les a ⊗ (1 – a) pour a ≠ 0, 1.

Le produit tensoriel sur T*F induit un produit K^M_m × K^M_n → K^M_m+n qui fait de K^M(F) un anneau gradué qui est commutatif (au sens gradué).

Exemples

Pour n = 0, 1 ou 2, ces K-groupes de corps coïncident avec ceux de Quillen, mais pour n ≥ 3, ils sont en général différents.

K^M_n(F_q) = 0 pour n ≥ 2 (alors que le K-groupe de Quillen K_{2i – 1}(F_q), pour i ≥ 1, est cyclique d'ordre qⁱ – 1).

K^M₂(ℂ) est un groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K^M₂(ℝ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K^M₂(ℚ_p) est la somme directe du groupe multiplicatif de F_p et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K^M₂(ℚ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et de sous-groupes cycliques d'ordre p – 1, pour tout nombre premier p impair.

Liens avec d'autres théories

La K-théorie de Milnor joue un rôle essentiel en théorie des corps de classes supérieure (en), remplaçant K^M₁ utilisé en théorie des corps de classes de dimension 1.

La K-théorie de Milnor modulo 2, notée k_✲(F), est liée à la cohomologie étale (ou de Galois) du corps F par la conjecture de Milnor, démontrée par Vladimir Voïevodski. L'énoncé analogue modulo un nombre premier impair est la conjecture de Bloch-Kato (en), démontrée par Voevodsky et Rost.

On définit le « symbole » {a₁, … , a_n} comme l'image de a₁⊗ … ⊗ a_n dans K^M_n(F) : si n = 2, c'est un symbole de Steinberg.

On définit pour tout n un morphisme de k_n(F) dans le groupe de Witt de F, en associant à ce symbole la forme de Pfister (en) de dimension 2ⁿ

$\langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,a_{1}\rangle \otimes \langle 1,a_{2}\rangle \otimes \ldots \otimes \langle 1,a_{n}\rangle .$

Vu comme à valeurs dans Iⁿ/Iⁿ⁺¹, ce morphisme est surjectif car les formes de Pfister engendrent additivement Iⁿ. La conjecture de Milnor s'interprète comme l'injectivité de ce morphisme.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Milnor K-theory » (voir la liste des auteurs).