Isomorphisme (théorie des catégories)

mathématiques Théorie

La théorie des catégories est une théorie unificatrice des Mathématiques, où il existe de nombreux types d'isomorphismes. Ici, le concept d'isomorphisme est un concept général applicable à de nombreuses branches des mathématiques abstraites.

Définition

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isomorphisme de catégorie

Soit   et   deux objets d'une catégorie  . Une flèche   est dite un isomorphisme (dans la catégorie   ) s'il existe une flèche   telle que l'on ait à la fois :

  et  ,

  et   désignent les flèches unités de   et de  [1].

Remarques

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  • Cette flèche   notée   est aussi un isomorphisme qui est dit inverse ou réciproque de u.
  • On a évidemment
     
  • Toute flèche unité est un isomorphisme et on a  ; la composée uv de deux isomorphismes est un isomorphisme tel que
     
  • Tout isomorphisme est un monomorphisme et un épimorphisme.
  • Soit F un foncteur d'une catégorie   dans une catégorie  . Si u est un isomorphisme de  , la flèche F(u) est un isomorphisme de   tel que  .

Exemples

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  • Dans la catégorie des ensembles, les isomorphismes sont les bijections.
  • Dans la catégorie des groupes, les isomorphismes sont les isomorphismes de groupes au sens habituel, c'est-à-dire les homomorphismes bijectifs. Il faut rappeler qu'un groupe n'est pas la donnée d'un seul ensemble   mais d'un couple    désigne une loi de composition interne sur   satisfaisant certains axiomes. Il sera donc prudent , pour désigner l'ensemble sous-jacent au groupe  , d'employer une autre notation que A, par exemple  . De même, si on se donne un morphisme de groupes, c'est-à-dire une flèche   de la catégorie des groupes, il conviendra de la distinguer de l'application sous-jacente  , qui est une flèche de la catégorie des ensembles. Dans le "langage catégorique", on dirait qu'un morphisme de groupes   est un isomorphisme si, et seulement si   est un isomorphisme de la catégorie des ensembles[1].
  • Dans la catégorie des espaces topologiques, les isomorphismes sont les homéomorphismes.
  • Dans une catégorie   associée à un ensemble préordonné  , dire qu'une flèche   est un isomorphisme revient à dire que les éléments   et   de   sont tels que l'on ait à la fois   et  .

Bimorphisme

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Une flèche qui est à la fois un monomorphisme et un épimorphisme est dite un bimorphisme. En particulier, tout isomorphisme est un bimorphisme. Il existe des exemples importants de catégories (catégorie des ensembles, catégories abéliennes) dans lesquelles tout bimorphisme est un isomorphisme, mais il existe aussi des catégories dans lesquelles un bimorphisme n'est pas en général un isomorphisme[1].

références

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  1. a b et c Georges Poitou et Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, , p. 13, 15, 18

Voir aussi

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