Inégalité de Pedoe

En géométrie, l'inégalité de Pedoe (ou inégalité de Neuberg-Pedoe ), portant les noms de Daniel Pedoe (1910-1998) et de Joseph Neuberg (1840-1926), stipule que si a, b et c sont les longueurs de côtés d'un triangle d'aire s, et A, B et C celles d'un triangle d'aire S, alors

$A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geqslant 16Ss,\,$

avec égalité si et seulement si les deux triangles sont semblables avec comme couples de côtés correspondants ( A, a ), ( B, b ) et ( C, c ).

L'expression de gauche n'est pas seulement symétrique sous l'une des six permutations de l'ensemble { ( A , a ), ( B , b ), ( C , c ) }, mais — de façon moins évidente — elle reste inchangée si a est échangé avec A, b avec B, et c avec C. En d’autres termes, c’est une fonction symétrique du couple formé par les triangles.

L'inégalité de Pedoe est une généralisation de l'inégalité de Weitzenböck, obtenue dans le cas où l'un des triangles est équilatéral.

Pedoe l'a découverte en 1941 et l'a publiée par la suite dans plusieurs articles. Plus tard, il apprit qu'elle était déjà connue de Neuberg au 19ème siècle, mais ce dernier n'a pas prouvé que l'égalité impliquait la similitude des deux triangles.

Démonstration

Par la formule de Héron, les aires des deux triangles s'écrivent :

$16s^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

$16S^{2}=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})$

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient,

$16Ss+2a^{2}A^{2}+2b^{2}B^{2}+2c^{2}C^{2}$

$\leqslant {\sqrt {(16s^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}{\sqrt {(16S^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}$

$=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})$

Donc,

$16Ss\leqslant A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}$

$=A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$

d'où le résultat.

Il y a égalité si et seulement si ${\tfrac {a}{A}}={\tfrac {b}{B}}={\tfrac {c}{C}}={\sqrt {\tfrac {s}{S}}}$, c'est-à-dire ssi les deux triangles sont semblables.

Voir aussi

• Liste d'inégalités dans le triangle

Références

• Daniel Pedoe : An Inequality Connecting Any Two Triangles. The Mathematical Gazette, Vol. 25, n° 267 (décembre 1941), pp. 310-311 ( JSTOR )
• Daniel Pedoe : A Two-Triangle Inequality. The American Mathematical Monthly, volume 70, numéro 9, page 1012, novembre 1963.
• Daniel Pedoe : An Inequality for Two Triangles. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volume 38, partie 4, page 397, 1943.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen : When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, p. 108
• DS Mitrinović, Josip Pečarić : About the Neuberg-Pedoe and the Oppenheim inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 · janvier 1988 ( copie en ligne )