Inégalité de Hadwiger-Finsler

En mathématiques, l'inégalité de Hadwiger-Finsler est un résultat de géométrie du triangle. Elle stipule que pour un triangle de longueurs de côté $a,b,c$ et d'aire $S$, alors

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}S\quad {\mbox{(HF)}}.$

Inégalités associées

• L'inégalité de Weitzenböck est un corollaire simple de l'inégalité de Hadwiger – Finsler ; avec les mêmes notations, elle s'écrit :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 4{\sqrt {3}}S\quad {\mbox{(W)}}.$

L'inégalité de Hadwiger-Finsler est en fait équivalente à l'inégalité de Weitzenböck. Appliquer (W) au triangle formé des milieux des trois arcs découpés sur le cercle circonscrit par les sommets donne (HF) .

L'inégalité de Weitzenböck peut aussi être prouvée directement à l'aide de la formule de Héron.

• Il existe une version pour le quadrilatère : pour un quadrilatère convexe $ABCD$ de côtés de longueurs $a,b,c,d$ et d'aire $S$ on a :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geqslant 4S+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}$

où$\sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}$, avec égalité pour le carré.

Démonstration

La formule d'Alkashi :

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$

peut se transformer en :

$a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos A)$

Comme $S={\frac {1}{2}}bc\sin A$, on a :

$a^{2}=(b-c)^{2}+4S{\frac {(1-\cos A)}{\sin A}}=(b-c)^{2}+4S\tan {\frac {A}{2}}$

En ajoutant les égalités similaires obtenues pour les 3 côtés du triangle, on obtient :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A\left(\tan {\frac {A}{2}}+\tan {\frac {B}{2}}+\tan {\frac {C}{2}}\right)$

Or, puisque les demi-angles du triangle sont inférieurs à π/2 et que la fonction tan est convexe, on a :

$\tan {\frac {A}{2}}+\tan {\frac {B}{2}}+\tan {\frac {C}{2}}\geqslant 3\tan {\frac {A+B+C}{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}$

Ce qui donne l'inégalité de Hadwiger-Finsler:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\,S$

Historique

L'inégalité de Hadwiger-Finsler a été publiée en 1937 par les mathématiciens suisses Paul Finsler et Hugo Hadwiger.

Voir aussi

• Liste d'inégalités dans le triangle
• Inégalité isopérimétrique

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadwiger-Finsler Inequality » (voir la liste des auteurs).

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, (ISBN 9780883853429), pp. 84-86