Inégalité de Cauchy

L'inégalité de Cauchy, établie par Augustin Louis Cauchy, est une relation permettant d'estimer les dérivées d'une fonction holomorphe. Elle découle immédiatement de la formule intégrale de Cauchy.

Énoncé

Soit f une fonction holomorphe dans un disque de centre ω₀ et de rayon R et soit r un réel de ]0, R[. On note :

$M\left(r\right)=\sup\{|f\left(\omega \right)|\mid |\omega -\omega _{0}|=r\}$.

Alors, pour tout entier naturel n,

$\left|{\frac {f^{(n)}\left(\omega _{0}\right)}{n!}}\right|\leq {\frac {M\left(r\right)}{r^{n}}}$.

Démonstration

Voir le § Principale conséquence de l'article sur la formule intégrale de Cauchy.

Conséquence

On peut déduire le théorème de Liouville de cette inégalité.