Moment linéaire

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Le moment linéaire ou impulsion est, en mécanique analytique, le moment conjugué d'une variable d'espace linéaire (par opposition aux variables d'espace angulaires)[style à revoir]. Cette notion, utilisée aussi en mécanique quantique, coïncide la plupart du temps avec celle de quantité de mouvement.

Mécanique analytique

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Définition en mécanique analytique

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En mécanique analytique, le moment conjugué   (aussi appelé impulsion généralisée) de la coordonnée généralisée   est donné par la formule[1] :  Ce moment conjugué est appelé moment linéaire (ou impulsion) lorsque les coordonnées généralisées   correspondent aux coordonnées cartésiennes.

Mécanique quantique

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En mécanique quantique, l'opérateur impulsion   permet d'obtenir les valeurs possibles de l'impulsion d'une particule. Il se décompose en trois opérateurs :  ,  ,  . Plus exactement, les valeurs possibles des composantes de l'impulsion sont données par les valeurs propres des opérateurs  .

Définition en mécanique quantique

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En représentation position, l'opérateur impulsion peut être mis sous la forme    est l'opérateur gradient et   est la constante de Planck réduite.

L'opérateur impulsion   peut être défini de cette manière à partir de l'opérateur position   et des relations de commutation canoniques[2] :

 
Le principe de correspondance consiste à identifier les crochets de Poisson {qj, pk} = δjk en mécanique hamiltonienne aux commutateurs   en mécanique quantique.

Principe d'indétermination

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Intuitivement, le commutateur de deux observable permet de quantifier à quel point les grandeurs associées sont mesurables simultanément. Les relations de commutation canoniques impliquent que les commutateurs  , où   est l'opérateur identité, ne sont pas nuls[a], et donc que les grandeurs associées ne peuvent pas être déterminées simultanément avec une précision arbitraire. C'est ce qu'on appelle le principe d'indétermination de Heisenberg, formalisé par les inégalités de Heisenberg[3] : 

  et   sont respectivement l'écart-type sur la position et l'écart-type sur l'impulsion.

Conséquences

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La principale conséquence du principe d'indétermination est qu'en mécanique quantique on ne peut pas associer une trajectoire bien définie à une particule. Cependant, il existe des interprétations alternatives de la mécanique quantique qui permettent de définir de telles trajectoires en proposant une autre définition de l'opérateur impulsion. Ces théories — dont la théorie de de Broglie-Bohm fait partie — sont très peu connues et déconsidérées par les physiciens.

Conservation de l'impulsion

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Distinction entre impulsion et quantité de mouvement

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L'impulsion est égale à la quantité de mouvement lorsque les forces appliquées à la particule dérivent d'une énergie potentielle.

Exemple :

Dans le cas d'une particule (sans spin) de charge   en mouvement dans un champ électromagnétique, la force de Lorentz   — qui ne dérive pas d'une énergie potentielle — entre en jeu. Impulsion   et quantité de mouvement   ne sont plus identiques en raison d'un terme dû au potentiel vecteur  . La relation reliant ces quantités est alors  [4].

Notes et références

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  1. Le module de   n'est pas nul mais est négligeable devant l'action des systèmes physiques macroscopiques. C'est la raison pour laquelle les effets quantiques sont négligeables à notre échelle. (Cohen-Tannoudji, p. 41)

Références

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Voir aussi

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Bibliographie

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C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition]

Articles connexes

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