Identité du produit quintuple

En mathématiques, l'identité du produit quintuple de Watson est un produit infini introduit par Watson, en 1929^[1], puis redécouvert par Bailey, en 1951^[2], et par Gordon en 1961^[3]. Il est analogue au triple produit de Jacobi.

Énoncé

\prod _{n\geq 1}(1-s^{n})(1-s^{n}t)(1-s^{n-1}t^{-1})(1-s^{2n-1}t^{2})(1-s^{2n-1}t^{-2})=\sum _{n\in Z}s^{(3n^{2}+n)/2}(t^{3n}-t^{-3n-1})

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↑ G. N. Watson, Theorems stated by Ramanujan. VII: Theorems on continued fractions., vol. 4, 1929, 39–48 p. (ISSN 0024-6107, DOI 10.1112/jlms/s1-4.1.39, JFM 55.0273.01)
↑ W. N. Bailey, On the simplification of some identities of the Rogers-Ramanujan type, vol. 1, coll. « Third Series », 1951, 217–221 p. (ISSN 0024-6115, DOI 10.1112/plms/s3-1.1.217, MR 0043839)
↑ Basil Gordon, Some identities in combinatorial analysis, vol. 12, 1961, 285–290 p. (ISSN 0033-5606, DOI 10.1093/qmath/12.1.285, MR 0136551)

L. Carlitz et M. V. Subbarao, A simple proof of the quintuple product identity, vol. 32, 1972, 42–44 p. (ISSN 0002-9939, DOI 10.2307/2038301, JSTOR 2038301, MR 0289316)