L'identité de Legendre ou relation de Legendre peut être exprimée sous deux formes :
comme une relation entre des intégrales elliptiques complètes :
K
E
′
+
E
K
′
−
K
K
′
=
π
2
{\displaystyle KE'+EK'-KK'={\tfrac {\pi }{2}}}
comme une relation entre les périodes et quasi-périodes de fonctions elliptiques. Les deux formes sont équivalentes dans la mesure où les périodes et quasi-périodes peuvent être exprimées en termes d'intégrales elliptiques complètes. Cette identité a été introduite (pour les intégrales elliptiques complètes) par le mathématicien français Adrien-Marie Legendre en 1811[ 1] [ 2]
Le mathématicien Adrien-Marie Legendre a noté cette relation dans son ouvrage Exercices de calcul intégral sur divers ordres de "transcendantes et sur les quadratures de 1811. Dans cet ouvrage, il établit la forme normale dite de Legendre. Il y introduit également la répartition des intégrales elliptiques en trois catégories[ 3] Académie des sciences de Paris[ 4] Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes de 1825, il dérive son identité de manière encore plus détaillée. Dans cet ouvrage, il a principalement analysé les théorèmes d'addition[ 5]
La première forme d'identité de Legendre exprime le fait que le Wronskien des intégrales elliptiques complètes (considérées comme solutions d'une équation différentielle) est une constante.
modifier
Dans le cas lemniscatique, on a
k
=
2
2
{\displaystyle k={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}
longueurs d'arc paramétré en coordonnées polaires des lemniscates de Bernoulli et les intégrales elliptiques de deuxième espèce traitent les longueurs d'arc d'une ellipse avec
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
d
d
y
F
[
arccos
(
x
y
)
,
2
2
]
=
−
2
x
1
−
x
4
y
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}F\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}
d
d
y
E
[
arccos
(
x
y
)
,
2
2
]
=
−
x
(
1
+
x
2
y
2
)
2
1
−
x
4
y
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}E\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {x\left(1+x^{2}y^{2}\right)}{{\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}}
d
d
x
1
−
x
4
y
2
1
−
x
4
y
4
=
−
2
x
3
y
2
(
1
−
x
4
y
4
)
+
2
x
3
y
6
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
y
4
)
3
=
−
2
x
3
y
2
(
1
−
y
4
)
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
y
4
)
3
⇒
d
d
x
artanh
1
−
x
4
y
2
1
−
x
4
y
4
=
−
2
x
3
y
2
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
y
4
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}\left(1-x^{4}y^{4}\right)+2x^{3}y^{6}\left(1-x^{4}\right)}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)^{3}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}\left(1-y^{4}\right)}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)^{3}}}}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {artanh} {\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)}}}}
On a ces quatre identités :
d
d
y
[
K
(
2
2
)
−
F
[
arccos
(
x
y
)
,
2
2
]
]
=
2
x
1
−
x
4
y
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}
d
d
y
[
2
E
(
2
2
)
−
K
(
2
2
)
−
2
E
[
arccos
(
x
y
)
,
2
2
]
+
F
[
arccos
(
x
y
)
,
2
2
]
]
=
2
x
3
y
2
1
−
x
4
y
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]+F\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}
d
d
x
[
y
2
+
1
y
2
[
artanh
(
y
2
)
−
artanh
1
−
x
4
y
2
1
−
x
4
y
4
]
]
=
2
x
3
(
y
2
+
1
)
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
y
4
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\tfrac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\right]={\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}}
d
d
y
[
2
arctan
y
−
1
−
y
2
y
artanh
(
y
2
)
]
=
y
2
+
1
y
2
artanh
(
y
2
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]={\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)}
On a alors :
2
1
−
x
4
{
[
2
E
(
2
2
)
−
K
(
2
2
)
−
2
E
(
arccos
x
,
2
2
)
+
F
(
arccos
x
,
2
2
)
]
+
x
2
[
K
(
2
2
)
−
F
(
arccos
x
,
2
2
)
]
}
=
∫
0
1
2
x
3
(
y
2
+
1
)
d
y
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
y
4
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{\left[2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]+x^{2}\left[K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\right\}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}\!\left(y^{2}+1\right)\mathrm {d} y}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}\,y^{4}\right)}}}}
En intégrant par rapport à
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
[
K
(
2
2
)
−
F
(
arccos
x
,
2
2
)
]
[
2
E
(
2
2
)
−
K
(
2
2
)
−
2
E
(
arccos
x
,
2
2
)
+
F
(
arccos
x
,
2
2
)
]
=
∫
0
1
y
2
+
1
y
2
[
artanh
(
y
2
)
−
artanh
1
−
x
4
y
2
1
−
x
4
y
4
]
d
y
{\displaystyle \left[K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\left[2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\tfrac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\mathrm {d} y}
Selon la règle de L'Hôpital , on a :
lim
y
→
0
1
−
y
2
y
artanh
(
y
2
)
=
0
{\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}{\frac {1-y^{2}}{y}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)=0}
lim
y
→
1
1
−
y
2
y
artanh
(
y
2
)
=
0
{\displaystyle \lim _{y\rightarrow 1}{\frac {1-y^{2}}{y}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)=0}
Si la valeur
x
=
1
{\displaystyle x=1}
K
(
2
2
)
[
2
E
(
2
2
)
−
K
(
2
2
)
]
=
∫
0
1
y
2
+
1
y
2
artanh
(
y
2
)
d
y
=
[
2
arctan
y
−
1
−
y
2
y
artanh
(
y
2
)
]
y
=
0
y
=
1
=
2
arctan
1
=
π
2
{\displaystyle K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\left[2\,E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\,\mathrm {d} y=\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]_{y=0}^{y=1}=2\arctan 1={\frac {\pi }{2}}}
C’est ainsi qu’émerge cet extrait de l’identité de Legendre :
2
E
(
2
2
)
K
(
2
2
)
−
K
2
(
2
2
)
=
π
2
{\displaystyle 2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}}
modifier
Puisqu'on sait ici que :
Dérivée de E et K par rapport à
k
{\displaystyle k}
d
d
k
K
(
k
)
=
E
(
k
)
−
k
′
2
K
(
k
)
k
k
′
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {E(k)-k'^{2}K(k)}{k\,k'^{2}}}}
d
d
k
K
′
(
k
)
=
k
2
K
′
(
k
)
−
E
′
(
k
)
k
k
′
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K'\left(k\right)={\frac {k^{2}K'\left(k\right)-E'\left(k\right)}{k\,k'^{2}}}}
d
d
k
E
(
k
)
=
E
(
k
)
−
K
(
k
)
k
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}
d
d
k
E
′
(
k
)
=
k
[
K
′
(
k
)
−
E
′
(
k
)
]
k
′
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E'\left(k\right)={\frac {k\left[K'\left(k\right)-E'\left(k\right)\right]}{k'^{2}}}}
on a :
d
d
k
K
(
k
)
E
′
(
k
)
=
1
k
k
′
2
[
E
(
k
)
E
′
(
k
)
−
K
(
k
)
E
′
(
k
)
+
k
2
K
(
k
)
K
′
(
k
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)E'\left(k\right)={\frac {1}{k\,k'^{2}}}\left[E(k)E'\left(k\right)-K(k)E'\left(k\right)+k^{2}K(k)K'\left(k\right)\right]}
d
d
k
E
(
k
)
K
′
(
k
)
=
1
k
k
′
2
[
−
E
(
k
)
E
′
(
k
)
+
E
(
k
)
K
′
(
k
)
−
(
1
−
k
2
)
K
(
k
)
K
′
(
k
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)K'\left(k\right)={\frac {1}{k\,k'^{2}}}\left[-E(k)E'\left(k\right)+E(k)K'\left(k\right)-(1-k^{2})K(k)K'\left(k\right)\right]}
d
d
k
K
(
k
)
K
′
(
k
)
=
1
k
k
′
2
[
E
(
k
)
K
′
(
k
)
−
K
(
k
)
E
′
(
k
)
−
(
1
−
2
k
2
)
K
(
k
)
K
′
(
k
)
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)K'\left(k\right)={\frac {1}{k\,k'^{2}}}\left[E(k)K'\left(k\right)-K(k)E'\left(k\right)-(1-2k^{2})K(k)K'\left(k\right)\right]}
En additionnant les deux premières égalités et en soustrayant la troisième, on a :
d
d
k
[
K
(
k
)
E
′
(
k
)
+
E
(
k
)
K
′
(
k
)
−
K
(
k
)
K
′
(
k
)
]
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[K(k)E'\left(k\right)+E(k)K'\left(k\right)-K(k)K'\left(k\right)\right]=0}
Or, on vient de voir que, pour
k
=
2
2
{\displaystyle k={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}
2
E
(
2
2
)
K
(
2
2
)
−
K
2
(
2
2
)
=
π
2
{\displaystyle 2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\tfrac {\pi }{2}}}
Donc, on a :
K
(
k
)
E
′
(
k
)
+
E
(
k
)
K
′
(
k
)
−
K
(
k
)
K
′
(
k
)
=
π
2
{\displaystyle K(k)E'\left(k\right)+E(k)K'\left(k\right)-K(k)K'\left(k\right)={\tfrac {\pi }{2}}}
soit :
K
E
′
+
E
K
′
−
K
K
′
=
π
2
{\displaystyle KE'+EK'-KK'={\tfrac {\pi }{2}}}
Les transformations de Landen indiquent :
K
(
k
)
=
2
1
+
k
′
2
K
(
1
−
k
′
2
1
+
k
′
2
)
E
(
k
)
=
(
1
+
k
′
2
)
E
(
1
−
k
′
2
1
+
k
′
2
)
−
2
k
′
2
1
+
k
′
2
K
(
1
−
k
′
2
1
+
k
′
2
)
}
⇒
{
K
′
(
k
)
=
2
1
+
k
K
(
1
−
k
1
+
k
)
E
′
(
k
)
=
(
1
+
k
)
E
(
1
−
k
1
+
k
)
−
2
k
1
+
k
K
(
1
−
k
1
+
k
)
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}K\left(k\right)&={\frac {2}{1+k'^{2}}}K\left({\frac {1-k'^{2}}{1+k'^{2}}}\right)\\E\left(k\right)&=\left(1+k'^{2}\right)E\left({\frac {1-k'^{2}}{1+k'^{2}}}\right)-{\frac {2k'^{2}}{1+k'^{2}}}K\left({\frac {1-k'^{2}}{1+k'^{2}}}\right)\end{aligned}}\right\}\Rightarrow \left\{{\begin{aligned}K'\left(k\right)&={\frac {2}{1+k}}K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)\\E'\left(k\right)&=\left(1+k\right)E\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-{\frac {2k}{1+k}}K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)\end{aligned}}\right.}
L'égalité
K
E
′
+
E
K
′
−
K
K
′
=
π
2
{\displaystyle KE'+EK'-KK'={\tfrac {\pi }{2}}}
(
1
+
k
)
K
(
k
)
E
(
1
−
k
1
+
k
)
−
2
k
1
+
k
K
(
k
)
K
(
1
−
k
1
+
k
)
+
2
1
+
k
E
(
k
)
K
(
1
−
k
1
+
k
)
−
2
1
+
k
K
(
k
)
K
(
1
−
k
1
+
k
)
=
π
2
{\displaystyle (1+k)K(k)E\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-{\frac {2k}{1+k}}K(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)+{\frac {2}{1+k}}E(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-{\frac {2}{1+k}}K(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)={\tfrac {\pi }{2}}}
puis :
(
1
+
k
)
K
(
k
)
E
(
1
−
k
1
+
k
)
+
2
1
+
k
E
(
k
)
K
(
1
−
k
1
+
k
)
−
2
K
(
k
)
K
(
1
−
k
1
+
k
)
=
π
2
{\displaystyle (1+k)K(k)E\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)+{\frac {2}{1+k}}E(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-2K(k)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)={\tfrac {\pi }{2}}}
Ces séries de Maclaurin sont valables pour toutes les valeurs réelles k < 1 :
K
(
k
)
=
π
2
∑
k
=
0
∞
1
16
k
(
2
k
k
)
2
k
2
k
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}k^{2k}}
E
(
k
)
=
π
2
∑
k
=
0
∞
1
16
k
(
1
−
2
k
)
(
2
k
k
)
2
k
2
k
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}k^{2k}}
On a alors cette paire de formules :
K
(
2
2
)
=
π
2
∑
k
=
0
∞
1
32
k
(
2
k
k
)
2
{\displaystyle K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}}
E
(
2
2
)
=
π
2
∑
k
=
0
∞
1
32
k
(
1
−
2
k
)
(
2
k
k
)
2
{\displaystyle E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}}
Ces deux formules peuvent être substituées dans cette formule :
2
E
(
2
2
)
K
(
2
2
)
−
K
2
(
2
2
)
=
π
2
{\displaystyle 2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}}
On peut alors synthétiser le développement en série suivant :
[
∑
k
=
0
∞
1
32
k
(
2
k
k
)
2
]
[
∑
k
=
0
∞
1
+
2
k
32
k
(
1
−
2
k
)
(
2
k
k
)
2
]
=
2
π
{\displaystyle {\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1+2k}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}={\frac {2}{\pi }}}
La vitesse de convergence pour cette formule de série se comporte linéairement par rapport aux décimales :
Limite supérieure de l'indice
Valeur de la somme
Décimales
0
1
1
1
45/64
0 ,70312500
2
43065/65536
0,6 5711975
3
2701125/4194304
0,6 4399838
4
43945661025/68719476736
0,63 949353
5
2805051005757/4398046511104
0,63 779475
Les résultats ont été arrondis. On a :
2
π
≈
0,636
619
772
367
581
343
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}636\,619\,772\,367\,581\,343}
Dans l'article intégrales elliptiques , on explique qu'on peut établir à l'aide de l'identité de Legendre :
∫
0
x
[
π
2
8
k
k
′
2
K
(
k
)
2
−
1
2
k
]
d
k
=
1
4
ln
16
x
2
−
π
K
′
(
x
)
4
K
(
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{x}\left[{\frac {\pi ^{2}}{8k\,k'^{2}K(k)^{2}}}-{\frac {1}{2k}}\right]\mathrm {d} k={\frac {1}{4}}\ln {\frac {16}{x^{2}}}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}}
(en) Peter Duren, « The Legendre relation for elliptic integrals » , dans John H. Ewing (éd.), F. W. Gehring (éd.), Paul Halmos, Celebrating 50 years of mathematics , New York, Springer-Verlag , 1991 (ISBN 0-387-97509-8 DOI 10.1007/978-1-4612-0967-6_32 MR 1113282 , p. 305-315 Adrien-Marie Legendre , Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures , vol. 1, Paris, 1811 Adrien-Marie Legendre , Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes , vol. 1, Paris, 1825 
![{\displaystyle k\in \left]0;1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d376b216e8432cb29ce5dadd228fa19f6a2206e)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}F\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086ed809bfa0f782ff12dcf255058a1fa60cee7e)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}E\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {x\left(1+x^{2}y^{2}\right)}{{\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1ef63ff71c944abf411af68d1c78937318186b)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa37e2e0441de424474596f495b0ae921493c0)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]+F\left[\arccos(xy),{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd2efdfd6b3eed8fb83864386bbdb6c7d5a2b79)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\tfrac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\right]={\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c80fa28bf596eca1cdb9aa2b1976af1b529db3f)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]={\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec84f16045021d431832a8fb0d564b9f3b92f656)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{\left[2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]+x^{2}\left[K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\right\}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}\!\left(y^{2}+1\right)\mathrm {d} y}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}\,y^{4}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b35dfd8e33de67e43ecac55d169c2f9b126d3e)
![{\displaystyle \left[K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\left[2E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\tfrac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c7afdae7776850b9bca3cea43d807c5656c4b6)
![{\displaystyle K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\left[2\,E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\,\mathrm {d} y=\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]_{y=0}^{y=1}=2\arctan 1={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b61d1e24cbc6efab68c9c8ef06b961d9db9a3f)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E'\left(k\right)={\frac {k\left[K'\left(k\right)-E'\left(k\right)\right]}{k'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa1722a2a4a132981930bd5c747e39b3bddaa7c)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)E'\left(k\right)={\frac {1}{k\,k'^{2}}}\left[E(k)E'\left(k\right)-K(k)E'\left(k\right)+k^{2}K(k)K'\left(k\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4260d483a6468fbeda699f8aadfacf71aa7eb96b)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)K'\left(k\right)={\frac {1}{k\,k'^{2}}}\left[-E(k)E'\left(k\right)+E(k)K'\left(k\right)-(1-k^{2})K(k)K'\left(k\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a9a7d952f62d8424cb9cde07401db031d44c26)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)K'\left(k\right)={\frac {1}{k\,k'^{2}}}\left[E(k)K'\left(k\right)-K(k)E'\left(k\right)-(1-2k^{2})K(k)K'\left(k\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ef8f01c49d162726419e948f2c68347bd9c63f)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[K(k)E'\left(k\right)+E(k)K'\left(k\right)-K(k)K'\left(k\right)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce8a35bae3401c847fe44f7800c5530758a3c0a)
![{\displaystyle {\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1+2k}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}={\frac {2}{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26f63d808c48a4d1c767e91a655f43b54dd549)
![{\displaystyle \int _{0}^{x}\left[{\frac {\pi ^{2}}{8k\,k'^{2}K(k)^{2}}}-{\frac {1}{2k}}\right]\mathrm {d} k={\frac {1}{4}}\ln {\frac {16}{x^{2}}}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ca21c63af73327f59e595dab4387a6fcfa4c94)
