L'homologie de Morse est une approche homologique de la théorie de Morse. Elle permet de comprendre l'homologie d'une variété différentielle compacte par la donnée d'une fonction de Morse et d'une métrique riemannienne (avec des conditions de compatibilité). Réciproquement, l'homologie de Morse permet de comprendre combinatoirement la dynamique d'un flot de gradient générique d'une fonction de Morse donnée sur une variété compacte à partir de l'homologie de la variété. Cette approche homologique conduit à l'écriture des inégalités de Morse.

Fixons une fonction de Morse sur une variété différentielle compacte , munie d'une métrique riemannienne . En pratique, le choix de la métrique riemannienne a une importance secondaire : l'espace des métriques riemanniennes est un cône convexe de l'espace des sections du fibré vectoriel , et des variations globales sur peuvent être effectuées.

L'homologie de Morse consiste à définir un complexe de chaînes ou de cochaînes suivant les auteurs, soit donc :

  • Un -module gradué ou , dont la définition est indépendante de  ;
  • Une application -linéaire ou , de carré nul, et de degré -1 ou +1.

Plus explicitement, ou est le -module libre de base l'ensemble des points critiques de la fonction  ; la graduation dépend d'une convention. L'opérateur de bord ou de cobord se définit en comptant les orbites du flot de plus ou moins le gradient de connectant des points critiques présentant une différence d'indices de 1. La finitude du nombre de telles orbites est assurée par une condition générique portant sur ou sur . L'introduction de signes est nécessaire pour assurer que le carré de soit nul.

Les groupes d'homologie ou de cohomologie du complexe de chaînes ou de cochaînes ainsi définis sont indépendants du choix de la métrique  : ils sont notés ou . Ils sont naturellement isomorphes aux groupes d'homologie ou de cohomologie de la variété à coefficients dans .

Graduation

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La graduation du  -module   ou   dépend d'un choix d'indexation des points critiques de la fonction  .

En un point critique   de  , la matrice hessienne de   est bien définie et indépendante du choix de la métrique riemannienne. La non-dégénérescence de   signifie exactement que la hessienne   est une forme bilineaire non dégénérée sur  . L'indice de   dépend de sa signature ; deux conventions coexistent :

  • L'indice   est défini comme la dimension d'un sous-espace défini positif maximal ;
  • L'indice   est défini comme la dimension d'un sous-espace défini négatif maximal.

Le  -module   ou   est le  -module libre de base l'ensemble des points critiques de   d'indice  .

Condition de Morse-Palais

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À une métrique riemannienne   fixée est associé le champ de vecteurs gradient   de   defini par :

 .

La condition de Morse-Palais (ou de Morse-Smale, ou de Palais-Smale, ou de Morse-Palais-Smale suivant les auteurs) est une condition générique au sens de Baire portant sur le choix de la fonction de Morse   ou le choix de la métrique riemannienne  . Elle s'énonce ainsi :

Les variétés stables et instables de   ou de   aux points critiques de   s'intersectent deux à deux transversalement.

Par compacité, les champs   et   sont globaux. Les solutions de l'équation différentielle :

 

sont globalement définies sur  , et admettent des limites en  , limites qui sont des points critiques de  . La condition de Morse-Palais est suffisante pour définir l'opérateur de bord ou de cobord  .

Pour deux points critiques   et   de  , on note   l'espace des orbites du flot de   allant de   à   ; id est, l'espace des applications   vérifiant le problème aux limites :

  ;   et  .

La topologie considérée est en général la topologie de convergence uniforme sur tout compact de  . L'écriture de l'homologie de Morse ne pose pas la question de l'existence de solutions à ce problème aux limites. Éventuellement,   peut être vide.

L'espace   est naturellement homéomorphe à l'intersection de la variété stable   en   et de la variété instable   en   (pour le champ  ).

Sous la condition de Morse-Palais, cette intersection est une sous-variété différentielle de   dont la dimension s'exprime comme différence des indices des points critiques   et   :

  •   ;
  •  .

Conventionnellement, une variété de dimension strictement négative est vide.

Le groupe   agit continument sur   et le quotient est une variété, notée   dont la dimension est donnée par :

  •   ;
  •  .

Orientation

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Opérateur de bord ou de cobord

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Suivant les conventions fixées, on définit un opérateur de bord ou de cobord ; le tableau suivant résume la situation :

  Index   Index  
Champ   Opérateur de bord

 

Opérateur de cobord

 

Champ   Opérateur de cobord

 

Opérateur de bord

 

Si   est un anneau de caractéristique 2, l'introduction des signes n'est pas nécessaire.

Notes et références

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Bibliographie

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(en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, [détail des éditions]