H-groupe

Ne pas confondre avec la notion de Groupe d'homotopie.

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En mathématiques, un h-groupe est un espace topologique pointé muni d'une multiplication (ou loi de composition interne) et d'une application dans lui-même (jouant le rôle d'inverse) satisfaisant des relations similaires à celles qui définissent les groupes mais à homotopie près.

Cette structure généralise ainsi à la fois celle de groupe topologique et celle de h-espace. Elle permet d'étudier certaines propriétés des espaces de lacets.

Définition

Un h-groupe est un espace topologique $X$ pointé muni de deux applications continues : une « multiplication »

${\begin{array}{rccc}\mu \colon &X\times X&\to &X\\&(x,y)&\mapsto &x\bullet y\end{array}}$

et une « inverse »

$\iota \colon X\to X$

telles que

• le point de base $e$ est neutre pour la multiplication et invariant par l'inverse ;
• la multiplication par le point de base (à gauche comme à droite) est homotope à l'identité relativement au point de base ;
• la multiplication est associative à homotopie près relativement au point de base, c'est-à-dire que les applications suivantes sont homotopes relativement au triplet $(e,e,e)$ :

  $(x,y,z)\mapsto (x\bullet y)\bullet z\qquad \sim \qquad (x,y,z)\mapsto x\bullet (y\bullet z)$ ;

• la multiplication (à gauche comme à droite) de l'identité par l'inverse est contractile au point de base.

Exemple fondamental

Pour tout espace topologique $X$, son espace des lacets $\Omega X$ est un h-groupe pour la concaténation des lacets (éventuellement normalisée si l'espace source des lacets est le segment $[0;1]$).

Propriétés

• L'ensemble des applications continues d'un espace topologique vers un h-groupe forme lui-même un h-groupe.
• L'ensemble des composantes connexes (par arcs ou non) d'un h-groupe est un groupe.
• L'ensemble des classes d'homotopie d'applications d'un espace topologique vers un h-groupe forme donc un groupe.

Voir aussi

H-cogroupe