Graphe toroïdal

En mathématiques, et plus précisément en théorie des graphes, un graphe G est toroïdal s'il peut être plongé sur le tore, c'est-à-dire que les sommets du graphe peuvent être placés sur le tore de telle façon que les arêtes ne se coupent pas. En général dire qu'un graphe est toroïdal sous-entend également qu'il n'est pas planaire.

Un graphe plongé sur le tore de telle façon que les arêtes ne se coupent pas.

Exemples

Le graphe de Heawood, le graphe complet K₇ (et par conséquent K₅ et K₆), le graphe de Petersen (et par conséquent le graphe biparti complet K_3,3, qui en est un mineur), les snarks de Blanuša et toutes les échelles de Möbius sont toroïdaux. Plus généralement, tout graphe de nombre de croisement égal à 1 est toroïdal. Certains graphes ayant un nombre de croisement supérieur sont également toroïdaux : ainsi, le graphe de Möbius-Kantor, de nombre de croisement 4, est toroïdal.

Propriétés

Tout graphe toroïdal est de nombre chromatique inférieur ou égal à sept ; le graphe complet K₇ est un exemple où ce nombre vaut 7 exactement ; tout graphe toroïdal sans triangle a un nombre chromatique inférieur ou égal à quatre.

Le théorème de Robertson-Seymour montre qu'on peut caractériser les graphes toroïdaux (ou planaires) par un ensemble fini de mineurs exclus (comme le théorème de Kuratowski le fait pour les graphes planaires), mais cet ensemble n'est pas encore déterminé ; en 2019, on sait seulement qu'il comporte plus de 17 000 graphes.

Aspects algorithmiques

Les graphes toroïdaux peuvent être reconnus en temps polynomial (par contre déterminer le genre d'un graphe est un problème NP-complet).

Voir aussi

• Graphe planaire
• Théorème de Robertson-Seymour

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Toroidal graph » (voir la liste des auteurs).

• (en) Gary Chartrand et Ping Zhang, Chromatic graph theory, CRC Press, 2008, 504 p. (ISBN 978-1-58488-800-0).

• (en) Toshiki Endo, « The pagenumber of toroidal graphs is at most seven », Discrete Mathematics, vol. 175, n^os 1–3,‎ 1997, p. 87–96 (DOI 10.1016/S0012-365X(96)00144-6, MR 1475841).

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• (en) Steven J. Gortler, Craig Gotsman et Dylan Thurston, « Discrete one-forms on meshes and applications to 3D mesh parameterization », Computer Aided Geometric Design, vol. 23, n^o 2,‎ 2006, p. 83–112 (DOI 10.1016/j.cagd.2005.05.002, MR 2189438).
• (en) P. J. Heawood, « Map colouring theorems », Quarterly J. Math. Oxford Ser., vol. 24,‎ 1890, p. 322–339.
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• (en) Dragan Marušič et Tomaž Pisanski, « The remarkable generalized Petersen graph G(8,3) », Math. Slovaca, vol. 50,‎ 2000, p. 117–121 (lire en ligne).
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• Carsten Thomassen, « The graph genus problem is NP-complete », Journal of Algorithms, vol. 10, n^o 4,‎ 1989, p. 568-576