Graphe de Harries-Wong
Le graphe de Harries-Wong est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 70 sommets et 105 arêtes.
| Graphe de Harries-Wong | |
 Représentation du graphe de Harries-Wong. | |
| Nombre de sommets | 70 |
|---|---|
| Nombre d'arêtes | 105 |
| Distribution des degrés | 3-régulier |
| Rayon | 6 |
| Diamètre | 6 |
| Maille | 10 |
| Automorphismes | 24 (S4) |
| Nombre chromatique | 2 |
| Indice chromatique | 3 |
| Propriétés | Cubique Cage Sans triangle Hamiltonien |
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Propriétés
modifierPropriétés générales
modifierLe graphe de Harries-Wong est une (3,10)-cage, c'est-à-dire un graphe minimal en nombres de sommets ayant une maille de 10 et étant régulier de degrés 3. La première cage de ce type à avoir été découverte est la 10-cage de Balaban, dont la description fut publiée en 1972[1]. La liste complète des (3-10)-cages a été donnée par O'Keefe et Wong en 1980[2]. Il en existe trois distinctes, les deux autres étant le graphe de Harries et la 10-cage de Balaban sus-citée[3].
Le diamètre du graphe de Harries-Wong, l'excentricité maximale de ses sommets, est 6, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 10. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes. Comme il est régulier de degrés 3 ce nombre est optimal. Le graphe de Harries-Wong est donc un graphe optimalement connecté.
Coloration
modifierLe nombre chromatique du graphe de Harries-Wongest 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 1-coloration valide du graphe.
L'indice chromatique du graphe de Harries-Wong est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Propriétés algébriques
modifierLe groupe d'automorphismes du graphe de Harries-Wong est un groupe d'ordre 24 isomorphe au groupe symétrique S4.
Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Harries-Wong est : .
Voir aussi
modifierLiens internes
modifierLiens externes
modifier- (en) Weisstein, Eric W. Harries-Wong Graph (MathWorld)
Références
modifier- (en) A. T. Balaban, A trivalent graph of girth ten, J. Combinatorial Theory, Set. B, 12:1-5, 1972
- (en) M. O'Keefe et P.K. Wong, A smallest graph of girth 10 and valency 3, J. Combin. Theory Ser. B 29 (1980) 91-105.
- (en) J. A. Bondy et U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 237, 1976.
