Formules trigonométriques en kπ/9

Cet article présente des formules trigonométriques faisant intervenir des angles multiples de π/9.

Valeurs approchées

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Le nombre   a pour développement décimal :   , suite A019879 de l'OEIS.

Le nombre   a pour développement décimal :   , suite A019829 de l'OEIS.

Constructibilité

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Le nombre   n'est pas constructible (on peut déduire ce cas particulier du théorème de Gauss-Wantzel, en utilisant le théorème de Wantzel et l'équation de degré 3 ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de construction à la règle et au compas de l'ennéagone régulier.

Expression par radicaux

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Le nombre   est exprimable par radicaux complexes :  

mais n'est pas exprimable par radicaux réels. C'est le casus irreducibilis.

Polynômes minimaux

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  • L'équation   a pour solutions :
      ,
    ce qui montre que   est la moitié d'un entier algébrique.
  • L'équation   a pour solutions :
  , ce qui montre que   est le quotient d'un entier algébrique par  .
Démonstration succincte
En utilisant les polynômes de Tchebychev et en factorisant on obtient   . En changeant   en   dans  , on obtient  ,
et   se factorise bien en  .
  • L'équation   a pour solutions :
  , ce qui montre que   est le quotient d'un entier algébrique par   .

Formules homogènes

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On en déduit les fonctions symétriques élémentaires associées aux solutions des équations précédentes :

  •  

La deuxième relation, qui s'écrit aussi  , s'appelle la première loi de Morrie.

  •  

La deuxième relation, qui s'écrit aussi  , s'appelle la deuxième loi de Morrie.

  •  

Liens externes

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Voir aussi

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