Formule de Spearman-Brown

La formule de Spearman-Brown (parfois présentée en anglais sous le nom « Spearman-Brown prophecy formula ») est un calcul statistique utilisé notamment en psychométrie afin d’estimer la fidélité que devrait présenter un test après qu’on en a modifié la longueur, c’est-à-dire après qu’on a augmenté ou réduit le nombre de ses items. Cette formule a été publiée la même année et séparément par Charles Spearman^[1] et William Brown^[2].

Définition

La fidélité d’un test dont le nombre d’items a été multiplié par $k$ est estimée par la formule :

r_{kk'}={{kr_{xx'}} \over {1+(k-1)r_{xx'}}}

,

où $r_{kk'}$ est la fidélité estimée du test après ajout ou retrait d’items, $k$ est le facteur d’allongement et $r_{xx'}$ est la fidélité du test avant ajout ou retrait d’items.

Le facteur d’allongement indique la quantité d’items ajoutés ou retranchés en proportion du nombre d’items contenus dans le test original. Par exemple, un facteur d’allongement de $k=3$ sera utilisé pour prédire la fidélité d’un test comprenant trois fois plus d’items que le test original. Les valeurs de $k$ comprises entre 0 et 1 correspondent à une situation où on retranche des items au test de départ. Par exemple, l’utilisation de la valeur $k=0,25$ estimera la fidélité d’un test comprenant quatre fois moins d’items que le test original.

Utilisation

La formule de Spearman-Brown est souvent utilisée conjointement avec la méthode de bissection. Dans la méthode de bissection, la fidélité d’un test est estimée par la corrélation entre les scores totaux obtenus à chacune de deux moitiés du test. Le coefficient de fidélité ainsi obtenu estimant en fin de compte la fidélité d’un demi-test, la formule de Spearman-Brown peut être employée pour estimer la fidélité du test entier. Dans ce cas, $k=2$ et la formule est parfois présentée dans la forme simplifiée suivante :

r_{xx'}={{2r_{AB}} \over {1+r_{AB}}}

où $r_{xx'}$ est la fidélité estimée du test au complet et $r_{AB}$ est la fidélité d’un demi-test (dans le cas de la méthode de bissection : la corrélation entre les scores de chacune des moitiés de test).

Un simple réarrangement de la formule de Spearman-Brow isolant $k$ permet par ailleurs d’estimer quel facteur d’allongement conduira à un degré souhaité de fidélité :

k={\frac {r_{kk'}(1-r_{xx'})}{r_{xx'}(1-r_{kk'})}}

.

Enfin, la formule de Spearman-Brow exprime formellement la fonction croissante monotone non linéaire qui relie la fidélité d’un test au nombre d’items qui le composent.

Postulats

La formule de Spearman-Brown offre une estimation valide de la fidélité d’un test dont le nombre des items a été modifié dans la mesure où les items ajoutés ou retranchés sont parallèles à ceux compris dans le test de départ. Cette exigence du parallélisme est une condition d’utilisation commune des techniques développées dans le cadre du modèle de l’erreur de mesure^[3].

Références

(en) W. Brown, « Some experimental results in the correlation of mental abilities », British Journal of Psychology, vol. 3, n^o 3,‎ 1910, p. 296-322.
(nl) P. J. D. Drenth et K. Sijtsma, Testtheorie : Inleiding in de theorie van de psychologische test en zijn toepassingen, Houten, Bohn Stafleu Van Loghum, 1990, 302 p. (ISBN 90-368-0199-0), p. 121.
D. Laveault et J. Grégoire, Introduction aux théories des tests en psychologie et en sciences de l'éducation, Bruxelles, De Boeck, 2002, 377 p. (ISBN 2-8041-3720-1), p. 126-127.
(en) C. Spearman, « Correlation calculated from faulty data », British Journal of Psychology, vol. 3, n^o 3,‎ 1910, p. 271-295.

Notes

↑ (en) C. Spearman, « Correlation calculated from faulty data », British Journal of Psychology, vol. 3, n^o 3,‎ 1910, p. 271-295, p. 281. Dans la notation originale de Spearman (formule III), la formule s’exprime comme suit : $\scriptstyle r_{x[p],x[p]}={{p\cdot r_{x[q],x[q]}} \over {q+(p-q)r_{x[q],x[q]}}}$ .
↑ (en) W. Brown, « Some experimental results in the correlation of mental abilities », British Journal of Psychology, vol. 3, n^o 3,‎ 1910, p. 296-322, p. 299. Dans la notation originale de Spearman (p. 299), la formule s’exprime comme suit : $\scriptstyle r_{n}={{nr_{1}} \over {1+(n-1)r_{1}}}$ .
↑ Voir (en) F. M. Lord et M. R. Novick, Statistical theories of mental test scores=, Reading, Addison-Wesley, 1968, 568 p.

Voir aussi

[1] (en) C. Spearman, « Correlation calculated from faulty data », British Journal of Psychology, vol. 3, n^o 3,‎ 1910, p. 271-295, p. 281. Dans la notation originale de Spearman (formule III), la formule s’exprime comme suit : $\scriptstyle r_{x[p],x[p]}={{p\cdot r_{x[q],x[q]}} \over {q+(p-q)r_{x[q],x[q]}}}$ .

[2] (en) W. Brown, « Some experimental results in the correlation of mental abilities », British Journal of Psychology, vol. 3, n^o 3,‎ 1910, p. 296-322, p. 299. Dans la notation originale de Spearman (p. 299), la formule s’exprime comme suit : $\scriptstyle r_{n}={{nr_{1}} \over {1+(n-1)r_{1}}}$ .

[3] Voir (en) F. M. Lord et M. R. Novick, Statistical theories of mental test scores=, Reading, Addison-Wesley, 1968, 568 p.

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