Fonction partielle

En mathématiques, une fonction partielle (quelquefois appelée simplement fonction) sur un ensemble donné $E$ est une application définie sur une partie de celui-ci, appelé ensemble de définition (ou domaine de définition) de la fonction partielle.

Exemple d'une fonction partielle

Cette notion apparaît en particulier en théorie de la calculabilité, qui s'intéresse aux fonctions partielles récursives : celles-ci sont définies sur une partie de $\mathbb {N}$, l'ensemble des entiers naturels, ou plus généralement de $\mathbb {N} ^{p}$, et l'ensemble de définition d'une fonction partielle récursive ne peut éventuellement pas se définir a priori, c'est-à-dire autrement qu'en indiquant que ce sont les entiers (ou tuples d'entiers) pour lesquels le calcul qui permet de définir la fonction aboutit.

Définitions

Une fonction partielle d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$ est un couple $(D_{f},f)$ constitué d'un sous-ensemble $D_{f}$ de $E$ et d'une application de $D_{f}$ dans $F$. On dit que $f$ est définie en $x\in E$ quand $x\in D_{f}$, et $D_{f}$ est appelé ensemble de définition de $f$.

Un exemple de fonction partielle est la fonction nulle part définie, celle dont le domaine de définition est vide.

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite totale quand $f$ est partout définie sur $E$, c'est-à-dire que $E=D_{f}$.

Articles connexes

• Restriction d'une fonction