Application identité

application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément
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En mathématiques, l'application identité ou la fonction identité est l'application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie l'argument sur lui-même. Formellement, sur un ensemble , c'est l'application :

Le graphe de l'application identité de est appelé la diagonale du produit cartésien . Pour l'ensemble des réels, ce graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

Graphe de la fonction identité sur .

Notations

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L'application identité de   est notée   ou  . Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble   sur lequel on travaille, on la note simplement   ou   [N 1].

Propriétés remarquables

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Pour toute application   d'un ensemble   dans un ensemble  , on a :

 

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de   dans lui-même muni de la composition de fonctions, et du groupe des bijections de   dans lui-même, appelé le groupe symétrique de  .

En algèbre linéaire

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Si   est un espace vectoriel, alors   est une application linéaire et son déterminant vaut  .

De plus, si   est de dimension finie  , alors la matrice représentant   est la matrice identité   dans n'importe quelle base   de   :

 

En topologie

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L'application identité permet de comparer deux topologies : sur  , une topologie   est plus fine qu'une topologie   lorsque   est continue de   dans  .

Notes et références

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  1. Elle est parfois notée  , mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec la fonction indicatrice d'une partie   d'un ensemble.