Fonction de référence
En mathématiques, une fonction de référence est une fonction étudiée pour sa simplicité, son exemplarité ou afin de servir de support à l'étude d'une famille plus large de fonctions.
Les fonctions de référence les plus fréquemment étudiées sont les fonctions affines, fonctions puissances (notamment la fonction carré, parfois étendue à l'ensemble des fonctions du second degré), les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus), etc.
Décomposition en fonctions de référence
modifierPrincipe
modifierIl est possible de décomposer certaines fonctions en fonctions de référence, en exprimant cette fonction comme la somme ou la composée de fonctions de référence. On peut ensuite utiliser les théorèmes relatifs à la composée et à la somme de deux fonctions pour connaître les propriétés de la fonction étudiée.
Exemple
modifierConsidérons la fonction f définie sur par :
Il est possible de la décomposer en fonctions de référence ainsi :
où g est la fonction inverse, h la fonction carré et l la fonction racine carrée.
Utilisations
modifierDérivation
modifierPrincipe
modifierOn peut calculer la dérivée d'une fonction en la décomposant en fonctions de référence, en utilisant les propriétés des opérations sur les dérivées, à savoir, entre autres, pour toutes fonctions f et g dérivables sur un intervalle I :
et pour toute fonction f dérivable sur I et toute fonction g dérivable sur f(I)
Par exemple, la fonction f définie sur par :
se décompose en fonctions de référence ainsi :
Avec :
- d'où
- d'où
- d'où
D'où :
Intégration
modifierPrincipe
modifierOn peut calculer l'intégrale d'une fonction f sur un intervalle en la décomposant en fonctions de référence dont on connait l'intégrale, puis en appliquant les propriétés des intégrales, à savoir :
En revanche, cette méthode ne s'applique pas aux fonctions composées.
Fonctions associées à une fonction de référence
modifierPrincipe
modifierUne fonction est dite associée à une fonction de référence dès qu'elle est obtenue par composées de cette fonction avec des fonctions affines.
Exemples
modifier- Toute fonction du second degré est une fonction associée à la fonction carré.
- La fonction f définie sur par est associée à la fonction inverse.
- La fonction g définie sur par est associée à la fonction racine carrée.