En théorie des probabilités , la fonction de masse [ 1] c.-à-d. résultat élémentaire) d'une expérience aléatoire. C'est souvent ainsi que l'on définit une loi de probabilité discrète . Elle se distingue de la fonction de densité, c.-à-d. de la densité de probabilité , en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires absolument continues , et que ce sont leurs intégrales sur des domaines qui ont valeurs de probabilités (et non leurs valeurs en des points).
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La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support est composé des singletons {1}, {3}, et {7}. Les probabilités associées sont respectivement 0,20, 0,50, et 0,30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle. Soit
(
Ω
,
A
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}
espace probabilisé .
On appelle fonction de masse de
P
,
{\displaystyle \mathbb {P} ,}
p
,
{\displaystyle p,}
Ω
{\displaystyle \Omega }
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
∀
ω
∈
Ω
,
p
(
ω
)
=
{
P
(
{
ω
}
)
si
{
ω
}
∈
A
,
0
si
{
ω
}
∉
A
.
{\displaystyle \forall \omega \in \Omega ,\quad p(\omega )={\begin{cases}\mathbb {P} {\big (}\{\omega \}{\big )}&{\text{si }}\{\omega \}\in {\mathcal {A}},\\0&{\text{si }}\{\omega \}\notin {\mathcal {A}}.\end{cases}}}
Si
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
discrète , alors pour tout
A
∈
A
:
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}:}
P
(
A
)
=
∑
ω
∈
A
∩
Ω
a
p
(
ω
)
=
∑
ω
∈
Ω
a
p
(
ω
)
δ
ω
(
A
)
,
{\displaystyle \mathbb {P} (A)=\sum _{\omega \in A\cap \Omega _{a}}p(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega _{a}}p(\omega )\delta _{\omega }(A),}
où
Ω
a
⊂
Ω
{\displaystyle \Omega _{a}\subset \Omega }
atomes de
P
,
{\displaystyle \mathbb {P} ,}
δ
ω
{\displaystyle \delta _{\omega }}
mesure de Dirac au point
ω
.
{\displaystyle \omega .}
Un dé asiatique à six faces. Lançons un dé équilibré à six faces. On a :
L'univers des issues possibles est
Ω
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
.
{\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.}
La tribu des événements possibles est
A
=
P
(
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}{\big (}\{1,2,3,4,5,6\}{\big )}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}
Le dé n'est pas pipé, donc les six issues possibles sont équiprobables ; or
P
(
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
)
=
1
,
{\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\{1,2,3,4,5,6\}{\big )}=1,}
1
6
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}.}
Dans cet exemple simple :
∀
ω
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
,
{
ω
}
∈
P
(
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
)
.
{\displaystyle \forall \omega \in \{1,2,3,4,5,6\},\ \{\omega \}\in {\mathcal {P}}{\big (}\{1,2,3,4,5,6\}{\big )}.}
Donc la fonction de masse de
P
,
{\displaystyle \mathbb {P} ,}
p
,
{\displaystyle p,}
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}
[
0
,
1
]
,
{\displaystyle [0,1],}
∀
ω
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
,
p
(
ω
)
=
P
(
{
ω
}
)
=
1
6
.
{\displaystyle \forall \omega \in \{1,2,3,4,5,6\},\quad p(\omega )=\mathbb {P} {\big (}\{\omega \}{\big )}={\tfrac {1}{6}}.}
(Voir l'article Loi uniforme discrète pour une présentation mathématiquement un peu différente du lancer d’un même dé équilibré à six faces.)
modifier
Soit
(
Ω
,
A
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}
(
X
,
B
)
{\displaystyle ({\textsf {X}},{\mathcal {B}})}
espace probabilisable , et
X
:
Ω
⟶
X
{\displaystyle X:\Omega \longrightarrow {\textsf {X}}}
variable aléatoire .
On appelle fonction de masse de
P
X
,
{\displaystyle \mathbb {P} _{X},}
p
X
,
{\displaystyle p_{X},}
X
{\displaystyle {\textsf {X}}}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
∀
x
∈
X
,
p
X
(
x
)
=
{
P
X
(
{
x
}
)
si
{
x
}
∈
B
,
[
information douteuse
]
0
si
{
x
}
∉
B
;
[
information douteuse
]
=
{
P
X
(
{
x
}
)
si
x
∈
X
(
Ω
)
,
[
information douteuse
]
0
si
x
∉
X
(
Ω
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}\{x\}\in {\mathcal {B}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}\{x\}\notin {\mathcal {B}}\ ;{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\end{cases}}\\&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}x\in X(\Omega ),{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}x\notin X(\Omega ).\end{cases}}\end{aligned}}}
∀
x
∈
X
,
p
X
(
x
)
=
{
P
X
(
{
x
}
)
(possiblement 0)
si
(
X
=
x
)
∈
A
,
[
suggestion de rectification
]
0
si
(
X
=
x
)
∉
A
.
[
suggestion de rectification
]
{\displaystyle \forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}{\big (}\{x\}{\big )}~~~{\text{(possiblement 0)}}&{\text{si }}(X=x)\in {\mathcal {A}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}(X=x)\notin {\mathcal {A}}.{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\end{cases}}}
Si
X
{\displaystyle X}
B
∈
B
:
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}:}
P
X
(
B
)
=
∑
x
∈
B
∩
X
a
p
X
(
x
)
=
∑
x
∈
X
a
p
X
(
x
)
δ
x
(
B
)
,
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{x\in B\cap {\textsf {X}}_{a}}p_{X}(x)=\sum _{x\in {\textsf {X}}_{a}}p_{X}(x)\delta _{x}(B),}
où
X
a
⊂
X
{\displaystyle {\textsf {X}}_{a}\subset {\textsf {X}}}
P
X
,
{\displaystyle \mathbb {P} _{X},}
δ
x
{\displaystyle \delta _{x}}
x
.
{\displaystyle x.}
Le théorème de transfert donne, pour toute fonction
φ
:
X
⟶
R
:
{\displaystyle \varphi :{\textsf {X}}\longrightarrow \mathbb {R} :}
E
(
φ
(
X
)
)
=
∑
x
∈
X
a
φ
(
x
)
p
X
(
x
)
.
{\displaystyle \mathbb {E} {\big (}\varphi (X){\big )}=\sum _{x\in {\textsf {X}}_{a}}\varphi (x)p_{X}(x).}
Pour une loi continue , la fonction de masse est la fonction nulle , donc elle n'est pas pertinente. Si une loi continue n'est pas singulière (c.-à-d. si elle est absolument continue ), on utilise sa densité de probabilité .
Lançons une pièce de monnaie équilibrée ; soit
X
{\displaystyle X}
L'univers des issues possibles est
Ω
=
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
.
{\displaystyle \Omega =\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}.}
X
=
R
{\displaystyle {\textsf {X}}=\mathbb {R} }
X
⊃
X
(
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
)
=
{
0
,
1
}
,
{\displaystyle {\textsf {X}}\supset X{\big (}\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}{\big )}=\{0,1\},}
X
:
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
⟶
X
{\displaystyle X:\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}\longrightarrow {\textsf {X}}}
La tribu des événements possibles est
A
=
P
(
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}{\big (}\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}{\big )}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
{\displaystyle \{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}}
B
=
P
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
image directe par
X
{\displaystyle X}
La pièce n'est pas biaisée, donc les deux issues possibles sont équiprobables ; or
P
(
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
)
=
1
,
{\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}{\big )}=1,}
P
(
{
p
i
l
e
}
)
=
P
(
{
f
a
c
e
}
)
=
1
2
,
{\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\{\mathrm {pile} \}{\big )}=\mathbb {P} {\big (}\{\mathrm {face} \}{\big )}={\tfrac {1}{2}},}
c.-à-d.
P
X
(
{
0
}
)
=
P
X
(
{
1
}
)
=
1
2
.
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}{\big (}\{0\}{\big )}=\mathbb {P} _{X}{\big (}\{1\}{\big )}={\tfrac {1}{2}}.}
Donc la fonction de masse de
P
X
,
{\displaystyle \mathbb {P} _{X},}
p
X
,
{\displaystyle p_{X},}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[
0
,
1
]
,
{\displaystyle [0,1],}
∀
x
∈
R
,
p
X
(
x
)
=
{
1
2
si
x
∈
{
0
,
1
}
,
0
si
x
∉
{
0
,
1
}
.
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad p_{X}(x)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}&{\text{si }}x\in \{0,1\},\\0&{\text{si }}x\notin \{0,1\}.\end{cases}}}
Dans cet exemple simple :
(
X
=
0
)
⇔
(
ω
=
pile
)
,
{\displaystyle (X=0)\Leftrightarrow (\omega ={\text{pile}}),}
∈
A
;
(
X
=
1
)
⇔
(
ω
=
face
)
,
{\displaystyle \in {\mathcal {A}}\ ;(X=1)\Leftrightarrow (\omega ={\text{face}}),}
∈
A
;
{\displaystyle \in {\mathcal {A}}\ ;}
∀
x
∉
{
0
,
1
}
,
(
X
=
x
)
⇔
{
ω
}
=
∅
,
{\displaystyle \forall x\notin \{0,1\},\ (X=x)\Leftrightarrow \{\omega \}=\emptyset ,}
∈
A
;
{\displaystyle \in {\mathcal {A}}\ ;}
p
X
{\displaystyle p_{X}}
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}}
∀
x
∈
R
,
p
X
(
x
)
=
P
X
(
{
x
}
)
(possiblement 0)
.
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad p_{X}(x)=\mathbb {P} _{X}{\big (}\{x\}{\big )}~~~{\text{(possiblement 0)}}.}
X
{\displaystyle X}
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}}
loi de Bernoulli de paramètre
1
2
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}
(en) N.L. Johnson, S. Kotz et A. Kemp, Univariate Discrete Distributions , Wiley, p. 36 (ISBN 0-471-54897-9 
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971caee396752d8bf56711f55d2c3b1207d4a236)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}\{x\}\in {\mathcal {B}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}\{x\}\notin {\mathcal {B}}\ ;{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\end{cases}}\\&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}x\in X(\Omega ),{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}x\notin X(\Omega ).\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06df54685cfc0a48dbcc971247a140bbacb7d8e1)
![{\displaystyle \forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}{\big (}\{x\}{\big )}~~~{\text{(possiblement 0)}}&{\text{si }}(X=x)\in {\mathcal {A}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}(X=x)\notin {\mathcal {A}}.{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f899e6735c25147b9b0f88dfed88b84bd860ab)
